微积分（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

最优化

方法: 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
最大值: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小值: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
封闭圆柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利润: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 − 2/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(2x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + x)/sin(2x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x³·e^−x。求 f′(2)。

f(x) = x³·e^−xx = 2

f′(2) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 9x² + 24x + 5。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 9x² + 24x + 5

x =

5.最优化中等

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 400 cm³。所用金属与总表面积成正比。求可能的最小表面积 A。

V = 400 cm³

A = cm²

6.最优化困难

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 120 − 0.25q 欧元/件，成本为 C(q) = 500 + 90q 欧元。求使利润最大的每周产量 q。

p = 120 − 0.25qC = 500 + 90q

q = 件

7.积分中等

计算 I = ∫₀^π/2 x·cos x dx（x 以弧度为单位）。

∫₀^π/2 x·cos x dx

I =

8.积分困难

将直线 y = 5x 与抛物线 y = 3x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。

y = 5xy = 3x²

V =

3溶液

1.极限

答案: L = 0.1353

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 2/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·(−2) = −2

还原对数

L = e⁻² = 0.1353

答案

L = 0.1353

2.极限

答案: L = 0.5

洛必达法则

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[2·cos 2x]

代入 x = 0

L = 1/2 = 0.5

答案

L = 0.5

3.导数

答案: f′(2) = 0.5413

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

代入

f′(2) = 0.1353·(12 + (−8)) = 0.5413

答案

f′(2) = 0.5413

4.导数

答案: x = 4

导数

f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3·(x² − 6x + 8)

解 f′(x) = 0

x = 2 或 x = 4

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 18：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(2) = −6, f″(4) = 6

x = 4

答案

x = 4

5.最优化

答案: A = 300.5 cm²

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

面积关于 r 的函数

h = 400/(πr²)

A(r) = 2πr² + 800/r

令导数为零

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0，所以这是最小值。

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm

高度和面积

h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm

A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²

答案

A = 300.5 cm²

最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。

6.最优化

答案: q = 60 件

利润函数

P(q) = (120 − 0.25q)·q − (500 + 90q) = −0.25q² + 30q − 500

令导数为零

P″(q) = −0.5 < 0，所以这是最大值。

q = 30/0.5 = 60

价格和利润

p = 120 − 0.25·60 = €105

P = 30·60 − 0.25·60² − 500 = €400

答案

q = 60

7.积分

答案: I = 0.5708

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原函数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

极限

(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0.5708

答案

I = 0.5708

8.积分

答案: V = 48.48

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

交点

5x = 3x² → x = 0, x = 1.667

垫圈法

V = π∫₀^1.667 ((5x)² − (3x²)²) dx

积分

V = π(25·1.667³/3 − 9·1.667⁵/5) = π·15.43 = 48.48

答案

V = 48.48

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