极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (1 + 3/x)2x。给出小数值。
f(x) = (1 + 3/x)2xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (e−x − 1 + x)/x²。
f(x) = (e−x − 1 + x)/x²x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = ln(2x2 + 2)。求 f′(−2)。
f(x) = ln(2x2 + 2)x = −2
f′(−2) =
4.导数困难
设 f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 5。求局部极小值点的 x 坐标 x。
f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 5
x =
5.最优化中等
一个正方形底的无盖盒子须容纳 500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求最小表面积 S。
V = 500 cm³
S = cm²
6.最优化困难
一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 70 − 1q 欧元/件，成本为 C(q) = 500 + 15q 欧元。 求最大周利润 P。
p = 70 − 1qC = 500 + 15q
P = €
7.积分中等
计算 I = ∫02 2x·(x² + 1)1 dx。
f(x) = 2x·(x² + 1)1[0, 2]
I =
8.积分困难
求由 y = x2 和 y = 4x 围成区域的面积 A。
y = x2y = 4x
A =
3溶液
1.极限
答案: L = 403.4
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
取对数
ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 + 3/x)
求值
当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。
ln L = 2·3 = 6
还原对数
L = e6 = 403.4
答案
L = 403.4
2.极限
答案: L = 0.5
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
(−1·e−x + 1)/(2x) → 0/0
第二次应用
1·e−x/2
代入 x = 0
L = 1·1/2 = 0.5
答案
L = 0.5
3.导数
答案: f′(−2) = −0.8
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
对数的链式法则
f′(x) = 4x/(2x2 + 2)
代入
f′(−2) = −8/10 = −0.8
答案
f′(−2) = −0.8
4.导数
答案: x = 3
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
导数
f′(x) = 3x2 − 6x − 9 = 3·(x2 − 2x − 3)
解 f′(x) = 0
x = −1 或 x = 3
判断哪个是哪个
f″(x) = 6x − 6：在极大值处为负，在极小值处为正。
f″(−1) = −12, f″(3) = 12
x = 3
答案
x = 3
5.最优化
答案: S = 300 cm²
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 x 的函数
S(x) = x² + 2000/x
令导数为零
S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0，所以这是最小值。
x³ = 1000 → x = 10 cm
高度和面积
h = 500/10² = 5 cm
S = 10² + 2000/10 = 300 cm²
答案
S = 300 cm²
最优的无盖盒子高度是底边长的一半。
6.最优化
答案: P = 256.3 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = (70 − 1q)·q − (500 + 15q) = −q2 + 55q − 500
令导数为零
P″(q) = −2 < 0，所以这是最大值。
q = 55/2 = 27.5
价格和利润
p = 70 − 1·27.5 = €42.5
P = 55·27.5 − 1·27.5² − 500 = €256.3
答案
P = €256.3
7.积分
答案: I = 12
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
换元
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u1 du
积分并代入上下限
I = [u2/2]15 = (25 − 1)/2 = 12
答案
I = 12
8.积分
答案: A = 10.67
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
交点
x2 = 4x → x = 0, x = 4
对上减下积分
A = [2x2 − 0.3333x3]04 = 10.67
答案
A = 10.67
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