极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (1 − 1/x)x。给出小数值。
f(x) = (1 − 1/x)xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (1 − cos 4x)/(x²)，x 以弧度计。
f(x) = (1 − cos 4x)/(x²)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = (4x − 3)5。求 f′(2)。
f(x) = (4x − 3)5x = 2
f′(2) =
4.导数困难
f(x) = 3x2 + 2x − 3 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = 3x2 + 2x − 3x = −1
b =
5.最优化中等
一块 400 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €40；其他三边每米造价 €8。 求最低总造价 C。
A = 400 m²€40/m€8/m
C = €
6.最优化困难
一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 160 − 0.5q 欧元/件，成本为 C(q) = 100 + 125q 欧元。 求使利润最大的价格 p。
p = 160 − 0.5qC = 100 + 125q
p = €
7.积分中等
计算 I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx。
f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 2]
I =
8.积分困难
求由 y = 0.5x2 和 y = 3x 围成区域的面积 A。
y = 0.5x2y = 3x
A =
3溶液
1.极限
答案: L = 0.3679
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
取对数
ln L = limx→∞ x·ln(1 − 1/x)
求值
当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。
ln L = 1·(−1) = −1
还原对数
L = e−1 = 0.3679
答案
L = 0.3679
2.极限
答案: L = 8
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
4·sin 4x/(2x) → 0/0
第二次应用
16·cos 4x/2
代入 x = 0
L = 16/2 = 8
答案
L = 8
3.导数
答案: f′(2) = 12500
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
链式法则
f′(x) = 5·(4x − 3)4·4
代入
f′(2) = 5·54·4 = 12500
答案
f′(2) = 12500
4.导数
答案: b = −6
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(−1) = −2
f′(x) = 6x + 2 → f′(−1) = −4
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−4)·(−1) = −6
答案
b = −6
5.最优化
答案: C = 1109 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
造价关于 x 的函数
C(x) = 48x + 6400/x
令导数为零
C″(x) = 12800/x³ > 0，所以这是最小值。
x = √(6400/48) = 11.55 m
y = 400/11.55 = 34.64 m
最低造价
C = 48·11.55 + 6400/11.55 = €1109
答案
C = €1109
6.最优化
答案: p = 142.5 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = (160 − 0.5q)·q − (100 + 125q) = −0.5q2 + 35q − 100
令导数为零
P″(q) = −1 < 0，所以这是最大值。
q = 35/1 = 35
价格和利润
p = 160 − 0.5·35 = €142.5
P = 35·35 − 0.5·35² − 100 = €512.5
答案
p = €142.5
7.积分
答案: I = 41.33
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
换元
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u2 du
积分并代入上下限
I = [u3/3]15 = (125 − 1)/3 = 41.33
答案
I = 41.33
8.积分
答案: A = 18
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
交点
0.5x2 = 3x → x = 0, x = 6
对上减下积分
A = [1.5x2 − 0.1667x3]06 = 18
答案
A = 18
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