极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (1 + 1/x)3x。给出小数值。
f(x) = (1 + 1/x)3xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (1 − cos 5x)/(3x²)，x 以弧度计。
f(x) = (1 − cos 5x)/(3x²)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = (3x + 3)3。求 f′(1)。
f(x) = (3x + 3)3x = 1
f′(1) =
4.导数困难
设 f(x) = x3 + 9x2 + 24x − 4。求局部极小值点的 x 坐标 x。
f(x) = x3 + 9x2 + 24x − 4
x =
5.最优化中等
一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 355 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。
V = 355 cm³
r = cm
6.最优化困难
一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 200 − 0.1q 欧元/件，成本为 C(q) = 18000 + 80q 欧元。 求使利润最大的价格 p。
p = 200 − 0.1qC = 18000 + 80q
p = €
7.积分中等
计算 I = ∫210 3/x dx。
f(x) = 3/x[2, 10]
I =
8.积分困难
求由 y = x2 和 y = 3x 围成区域的面积 A。
y = x2y = 3x
A =
3溶液
1.极限
答案: L = 20.09
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
取对数
ln L = limx→∞ 3·x·ln(1 + 1/x)
求值
当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。
ln L = 3·1 = 3
还原对数
L = e3 = 20.09
答案
L = 20.09
2.极限
答案: L = 4.167
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
5·sin 5x/(6x) → 0/0
第二次应用
25·cos 5x/6
代入 x = 0
L = 25/6 = 4.167
答案
L = 4.167
3.导数
答案: f′(1) = 324
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
链式法则
f′(x) = 3·(3x + 3)2·3
代入
f′(1) = 3·62·3 = 324
答案
f′(1) = 324
4.导数
答案: x = −2
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
导数
f′(x) = 3x2 + 18x + 24 = 3·(x2 + 6x + 8)
解 f′(x) = 0
x = −4 或 x = −2
判断哪个是哪个
f″(x) = 6x + 18：在极大值处为负，在极小值处为正。
f″(−4) = −6, f″(−2) = 6
x = −2
答案
x = −2
5.最优化
答案: r = 3.837 cm
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 r 的函数
h = 355/(πr²)
A(r) = 2πr² + 710/r
令导数为零
A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0，所以这是最小值。
4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3.837 cm
高度和面积
h = 355/(π·3.837²) = 2r = 7.674 cm
A = 2π·3.837² + 710/3.837 = 277.5 cm²
答案
r = 3.837 cm
最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。
6.最优化
答案: p = 140 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = (200 − 0.1q)·q − (18000 + 80q) = −0.1q2 + 120q − 18000
令导数为零
P″(q) = −0.2 < 0，所以这是最大值。
q = 120/0.2 = 600
价格和利润
p = 200 − 0.1·600 = €140
P = 120·600 − 0.1·600² − 18000 = €18000
答案
p = €140
7.积分
答案: I = 4.828
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
原函数
F(x) = 3·ln x
代入上下限
I = 3·(ln 10 − ln 2) = 3·ln 5 = 4.828
答案
I = 4.828
8.积分
答案: A = 4.5
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
交点
x2 = 3x → x = 0, x = 3
对上减下积分
A = [1.5x2 − 0.3333x3]03 = 4.5
答案
A = 4.5
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