极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (x3 − 4x − 5)/(3x3 + 3x + 8)。
f(x) = (x3 − 4x − 5)/(3x3 + 3x + 8)x → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 ln(1 + 3x)/sin(2x)，x 以弧度计。
f(x) = ln(1 + 3x)/sin(2x)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = (−2x + 3)3。求 f′(2)。
f(x) = (−2x + 3)3x = 2
f′(2) =
4.导数困难
f(x) = −x2 + 4x + 4 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = −x2 + 4x + 4x = −1
b =
5.最优化中等
一个正方形底的无盖盒子须容纳 62500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求最小表面积 S。
V = 62500 cm³
S = cm²
6.最优化困难
一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 80 − 0.2q 欧元/件，成本为 C(q) = 1900 + 30q 欧元。 求最大周利润 P。
p = 80 − 0.2qC = 1900 + 30q
P = €
7.积分中等
计算 I = ∫₀π x·sin x dx（x 以弧度为单位）。
∫₀π x·sin x dx
I =
8.积分困难
计算 I = ∫₀1.5 x²·eˣ dx。
∫₀1.5 x²eˣ dx
I =
3溶液
1.极限
答案: L = 0.3333
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
除以最高次幂
(1 + (−4)/x2 + (−5)/x3)/(3 + 3/x2 + 8/x3)
令 x → ∞
L = 1/3 = 0.3333
答案
L = 0.3333
次数相同时，极限为首项系数之比。
2.极限
答案: L = 1.5
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
洛必达法则
L = limx→0 [3/(1 + 3x)]/[2·cos 2x]
代入 x = 0
L = 3/2 = 1.5
答案
L = 1.5
3.导数
答案: f′(2) = −6
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
链式法则
f′(x) = 3·(−2x + 3)2·(−2)
代入
f′(2) = 3·(−1)2·(−2) = −6
答案
f′(2) = −6
4.导数
答案: b = 5
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(−1) = −1
f′(x) = −2x + 4 → f′(−1) = 6
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − 6·(−1) = 5
答案
b = 5
5.最优化
答案: S = 7500 cm²
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 x 的函数
S(x) = x² + 250000/x
令导数为零
S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0，所以这是最小值。
x³ = 125000 → x = 50 cm
高度和面积
h = 62500/50² = 25 cm
S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²
答案
S = 7500 cm²
最优的无盖盒子高度是底边长的一半。
6.最优化
答案: P = 1225 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = (80 − 0.2q)·q − (1900 + 30q) = −0.2q2 + 50q − 1900
令导数为零
P″(q) = −0.4 < 0，所以这是最大值。
q = 50/0.4 = 125
价格和利润
p = 80 − 0.2·125 = €55
P = 50·125 − 0.2·125² − 1900 = €1225
答案
P = €1225
7.积分
答案: I = 3.142
分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。
选取 u 和 dv
u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x
原函数
∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x
极限
(−π·cos π + sin π) − (0 + 0) = 3.142
答案
I = 3.142
8.积分
答案: I = 3.602
分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。
第一轮
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
第二轮
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
极限
4.482·(1.25) − 1·2 = 3.602
答案
I = 3.602
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1