极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (√(x2 − 5x) − x)。
f(x) = √(x2 − 5x) − xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(5x)，x 以弧度计。
f(x) = ln(1 + 2x)/sin(5x)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = x3·e−0.5x。求 f′(1.5)。
f(x) = x3·e−0.5xx = 1.5
f′(1.5) =
4.导数困难
f(x) = −x2 − x + 5 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = −x2 − x + 5x = −1
b =
5.最优化中等
一个正方形底的无盖盒子须容纳 500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求底边长 x。
V = 500 cm³
x = cm
6.最优化困难
一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 70 − 1q 欧元/件，成本为 C(q) = 100 + 25q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。
p = 70 − 1qC = 100 + 25q
q = 件
7.积分中等
计算 I = ∫02 2x·(x² + 1)3 dx。
f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 2]
I =
8.积分困难
将直线 y = x 与抛物线 y = 0.5x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。
y = xy = 0.5x²
V =
3溶液
1.极限
答案: L = −2.5
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
乘以共轭式
f(x) = −5x/(√(x2 − 5x) + x)
除以 x
f(x) = −5/(√(1 + (−5)/x) + 1)
令 x → ∞
L = −5/(1 + 1) = −2.5
答案
L = −2.5
2.极限
答案: L = 0.4
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
洛必达法则
L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[5·cos 5x]
代入 x = 0
L = 2/5 = 0.4
答案
L = 0.4
3.导数
答案: f′(1.5) = 2.391
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则
f′(x) = u′v + uv′ = e−0.5x·(3x2 + (−0.5)·x3)
代入
f′(1.5) = 0.4724·(6.75 + (−1.688)) = 2.391
答案
f′(1.5) = 2.391
4.导数
答案: b = 6
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(−1) = 5
f′(x) = −2x − 1 → f′(−1) = 1
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − 1·(−1) = 6
答案
b = 6
5.最优化
答案: x = 10 cm
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 x 的函数
S(x) = x² + 2000/x
令导数为零
S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0，所以这是最小值。
x³ = 1000 → x = 10 cm
高度和面积
h = 500/10² = 5 cm
S = 10² + 2000/10 = 300 cm²
答案
x = 10 cm
最优的无盖盒子高度是底边长的一半。
6.最优化
答案: q = 22.5 件
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = (70 − 1q)·q − (100 + 25q) = −q2 + 45q − 100
令导数为零
P″(q) = −2 < 0，所以这是最大值。
q = 45/2 = 22.5
价格和利润
p = 70 − 1·22.5 = €47.5
P = 45·22.5 − 1·22.5² − 100 = €406.3
答案
q = 22.5
7.积分
答案: I = 156
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
换元
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u3 du
积分并代入上下限
I = [u4/4]15 = (625 − 1)/4 = 156
答案
I = 156
8.积分
答案: V = 3.351
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
交点
1x = 0.5x² → x = 0, x = 2
垫圈法
V = π∫₀2 ((1x)² − (0.5x²)²) dx
积分
V = π(1·2³/3 − 0.25·2⁵/5) = π·1.067 = 3.351
答案
V = 3.351
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