极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (√(x2 + 7x) − x)。
f(x) = √(x2 + 7x) − xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (ex − 1 − x)/x²。
f(x) = (ex − 1 − x)/x²x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = x·sin(2x)，x 以弧度计。求 f′(1)。
f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad
f′(1) =
4.导数困难
f(x) = −x2 − 4x − 6 在 x = 3 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = −x2 − 4x − 6x = 3
b =
5.最优化中等
一个正方形底的无盖盒子须容纳 62500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求最小表面积 S。
V = 62500 cm³
S = cm²
6.最优化困难
一家剧院每场以每张 €12 售出 640 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 40 张（每降低 €1，就多 40 张）。 求使收入最大的票价 p。
640 × €1240 / €1
p = €
7.积分中等
计算 I = ∫₀π x·sin x dx（x 以弧度为单位）。
∫₀π x·sin x dx
I =
8.积分困难
将直线 y = 6x 与抛物线 y = 3x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。
y = 6xy = 3x²
V =
3溶液
1.极限
答案: L = 3.5
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
乘以共轭式
f(x) = 7x/(√(x2 + 7x) + x)
除以 x
f(x) = 7/(√(1 + 7/x) + 1)
令 x → ∞
L = 7/(1 + 1) = 3.5
答案
L = 3.5
2.极限
答案: L = 0.5
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
(1·ex − 1)/(2x) → 0/0
第二次应用
1·ex/2
代入 x = 0
L = 1·1/2 = 0.5
答案
L = 0.5
3.导数
答案: f′(1) = 0.077
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则与链式法则
f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)
代入
f′(1) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077
答案
f′(1) = 0.077
4.导数
答案: b = 3
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(3) = −27
f′(x) = −2x − 4 → f′(3) = −10
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −27 − (−10)·3 = 3
答案
b = 3
5.最优化
答案: S = 7500 cm²
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 x 的函数
S(x) = x² + 250000/x
令导数为零
S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0，所以这是最小值。
x³ = 125000 → x = 50 cm
高度和面积
h = 62500/50² = 25 cm
S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²
答案
S = 7500 cm²
最优的无盖盒子高度是底边长的一半。
6.最优化
答案: p = 14 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
收入关于价格的函数
n(p) = 1120 − 40p
R(p) = 1120p − 40p²
令导数为零
R″(p) = −80 < 0，所以这是最大值。
p = 1120/80 = €14
最大收入
n = 1120 − 40·14 = 560
R = 14·560 = €7840
答案
p = €14
7.积分
答案: I = 3.142
分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。
选取 u 和 dv
u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x
原函数
∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x
极限
(−π·cos π + sin π) − (0 + 0) = 3.142
答案
I = 3.142
8.积分
答案: V = 120.6
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
交点
6x = 3x² → x = 0, x = 2
垫圈法
V = π∫₀2 ((6x)² − (3x²)²) dx
积分
V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38.4 = 120.6
答案
V = 120.6
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