极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (−4x2 + 2x + 2)/(3x2 + 2x + 6)。
f(x) = (−4x2 + 2x + 2)/(3x2 + 2x + 6)x → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (e−0.5x − 1 + 0.5x)/x²。
f(x) = (e−0.5x − 1 + 0.5x)/x²x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = (2x + 1)4。求 f′(0)。
f(x) = (2x + 1)4x = 0
f′(0) =
4.导数困难
f(x) = 2x2 + 2x − 4 在 x = −2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = 2x2 + 2x − 4x = −2
b =
5.最优化中等
一个正方形底的无盖盒子须容纳 13500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求高度 h。
V = 13500 cm³
h = cm
6.最优化困难
一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 90 − 0.5q 欧元/件，成本为 C(q) = 600 + 10q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。
p = 90 − 0.5qC = 600 + 10q
q = 件
7.积分中等
将 y = 0.5x 之下、从 x = 0 到 x = 4 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（圆锥）的体积 V。
y = 0.5x0 ≤ x ≤ 4
V =
8.积分困难
求抛物线 y = 1 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。
y = 1 − x²
A =
3溶液
1.极限
答案: L = −1.333
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
除以最高次幂
(−4 + 2/x + 2/x2)/(3 + 2/x + 6/x2)
令 x → ∞
L = −4/3 = −1.333
答案
L = −1.333
次数相同时，极限为首项系数之比。
2.极限
答案: L = 0.125
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
(−0.5·e−0.5x + 0.5)/(2x) → 0/0
第二次应用
0.25·e−0.5x/2
代入 x = 0
L = 0.25·1/2 = 0.125
答案
L = 0.125
3.导数
答案: f′(0) = 8
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
链式法则
f′(x) = 4·(2x + 1)3·2
代入
f′(0) = 4·13·2 = 8
答案
f′(0) = 8
4.导数
答案: b = −12
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(−2) = 0
f′(x) = 4x + 2 → f′(−2) = −6
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0 − (−6)·(−2) = −12
答案
b = −12
5.最优化
答案: h = 15 cm
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 x 的函数
S(x) = x² + 54000/x
令导数为零
S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0，所以这是最小值。
x³ = 27000 → x = 30 cm
高度和面积
h = 13500/30² = 15 cm
S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²
答案
h = 15 cm
最优的无盖盒子高度是底边长的一半。
6.最优化
答案: q = 80 件
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = (90 − 0.5q)·q − (600 + 10q) = −0.5q2 + 80q − 600
令导数为零
P″(q) = −1 < 0，所以这是最大值。
q = 80/1 = 80
价格和利润
p = 90 − 0.5·80 = €50
P = 80·80 − 0.5·80² − 600 = €2600
答案
q = 80
7.积分
答案: V = 16.76
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
圆盘法
V = π∫₀4 0.25x² dx
积分
V = π·0.25·4³/3 = 16.76
答案
V = 16.76
检验：半径 2、高 4 的圆锥体积为 (1/3)πr²h = 16.76。
8.积分
答案: A = 1.333
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
零点
1 − x² = 0 → x = ±1
积分
A = [1x − x³/3]−11 = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333
答案
A = 1.333
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