极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (1 + 0.5/x)3x。给出小数值。
f(x) = (1 + 0.5/x)3xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (1 − cos 5x)/(2x²)，x 以弧度计。
f(x) = (1 − cos 5x)/(2x²)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = ln(x2 + 5)。求 f′(2)。
f(x) = ln(x2 + 5)x = 2
f′(2) =
4.导数困难
f(x) = −x2 − 5x + 3 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = −x2 − 5x + 3x = −1
b =
5.最优化中等
一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 500 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求可能的最小表面积 A。
V = 500 cm³
A = cm²
6.最优化困难
一家剧院每场以每张 €12 售出 1240 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 40 张（每降低 €1，就多 40 张）。 求每场的最大收入 R。
1240 × €1240 / €1
R = €
7.积分中等
将 y = √(2x) 之下、从 x = 0 到 x = 4 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（抛物面体）的体积 V。
y = √(2x)0 ≤ x ≤ 4
V =
8.积分困难
求抛物线 y = 4 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。
y = 4 − x²
A =
3溶液
1.极限
答案: L = 4.482
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
取对数
ln L = limx→∞ 3·x·ln(1 + 0.5/x)
求值
当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。
ln L = 3·0.5 = 1.5
还原对数
L = e1.5 = 4.482
答案
L = 4.482
2.极限
答案: L = 6.25
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
5·sin 5x/(4x) → 0/0
第二次应用
25·cos 5x/4
代入 x = 0
L = 25/4 = 6.25
答案
L = 6.25
3.导数
答案: f′(2) = 0.4444
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
对数的链式法则
f′(x) = 2x/(x2 + 5)
代入
f′(2) = 4/9 = 0.4444
答案
f′(2) = 0.4444
4.导数
答案: b = 4
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(−1) = 7
f′(x) = −2x − 5 → f′(−1) = −3
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 7 − (−3)·(−1) = 4
答案
b = 4
5.最优化
答案: A = 348.7 cm²
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 r 的函数
h = 500/(πr²)
A(r) = 2πr² + 1000/r
令导数为零
A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0，所以这是最小值。
4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4.301 cm
高度和面积
h = 500/(π·4.301²) = 2r = 8.603 cm
A = 2π·4.301² + 1000/4.301 = 348.7 cm²
答案
A = 348.7 cm²
最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。
6.最优化
答案: R = 18490 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
收入关于价格的函数
n(p) = 1720 − 40p
R(p) = 1720p − 40p²
令导数为零
R″(p) = −80 < 0，所以这是最大值。
p = 1720/80 = €21.5
最大收入
n = 1720 − 40·21.5 = 860
R = 21.5·860 = €18490
答案
R = €18490
7.积分
答案: V = 50.27
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
圆盘法
V = π∫₀4 2x dx
积分
V = π·2·4²/2 = 50.27
答案
V = 50.27
8.积分
答案: A = 10.67
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
零点
4 − x² = 0 → x = ±2
积分
A = [4x − x³/3]−22 = 5.333 − (−5.333) = 10.67
答案
A = 10.67
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1