极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (−4x3 − 4x − 1)/(x3 + 4x + 4)。
f(x) = (−4x3 − 4x − 1)/(x3 + 4x + 4)x → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(5x)，x 以弧度计。
f(x) = ln(1 + 2x)/sin(5x)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = (4x + 1)3。求 f′(0)。
f(x) = (4x + 1)3x = 0
f′(0) =
4.导数困难
f(x) = 3x2 + 2 在 x = 3 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = 3x2 + 2x = 3
b =
5.最优化中等
一个正方形底的无盖盒子须容纳 108000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求最小表面积 S。
V = 108000 cm³
S = cm²
6.最优化困难
一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 170 − 0.2q 欧元/件，成本为 C(q) = 300 + 135q 欧元。 求使利润最大的价格 p。
p = 170 − 0.2qC = 300 + 135q
p = €
7.积分中等
计算 I = ∫₁2 x·ln x dx。
∫₁2 x ln x dx
I =
8.积分困难
求抛物线 y = 1 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。
y = 1 − x²
A =
3溶液
1.极限
答案: L = −4
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
除以最高次幂
(−4 + (−4)/x2 + (−1)/x3)/(1 + 4/x2 + 4/x3)
令 x → ∞
L = −4/1 = −4
答案
L = −4
次数相同时，极限为首项系数之比。
2.极限
答案: L = 0.4
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
洛必达法则
L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[5·cos 5x]
代入 x = 0
L = 2/5 = 0.4
答案
L = 0.4
3.导数
答案: f′(0) = 12
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
链式法则
f′(x) = 3·(4x + 1)2·4
代入
f′(0) = 3·12·4 = 12
答案
f′(0) = 12
4.导数
答案: b = −25
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(3) = 29
f′(x) = 6x → f′(3) = 18
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 29 − 18·3 = −25
答案
b = −25
5.最优化
答案: S = 10800 cm²
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 x 的函数
S(x) = x² + 432000/x
令导数为零
S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0，所以这是最小值。
x³ = 216000 → x = 60 cm
高度和面积
h = 108000/60² = 30 cm
S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²
答案
S = 10800 cm²
最优的无盖盒子高度是底边长的一半。
6.最优化
答案: p = 152.5 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = (170 − 0.2q)·q − (300 + 135q) = −0.2q2 + 35q − 300
令导数为零
P″(q) = −0.4 < 0，所以这是最大值。
q = 35/0.4 = 87.5
价格和利润
p = 170 − 0.2·87.5 = €152.5
P = 35·87.5 − 0.2·87.5² − 300 = €1231
答案
p = €152.5
7.积分
答案: I = 0.6363
分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。
选取 u 和 dv
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
原函数
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
极限
(2·ln 2 − 1) − (0 − 0.25) = 0.6363
答案
I = 0.6363
8.积分
答案: A = 1.333
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
零点
1 − x² = 0 → x = ±1
积分
A = [1x − x³/3]−11 = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333
答案
A = 1.333
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