极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (2x2 + x + 1)/(3x2 + 2x + 5)。
f(x) = (2x2 + x + 1)/(3x2 + 2x + 5)x → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (e0.5x − 1 − 0.5x)/x²。
f(x) = (e0.5x − 1 − 0.5x)/x²x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = ln(3x2 + 1)。求 f′(−2)。
f(x) = ln(3x2 + 1)x = −2
f′(−2) =
4.导数困难
f(x) = 3x2 − x − 2 在 x = 3 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = 3x2 − x − 2x = 3
b =
5.最优化中等
一个正方形底的无盖盒子须容纳 108000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求最小表面积 S。
V = 108000 cm³
S = cm²
6.最优化困难
一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 170 − 0.1q 欧元/件，成本为 C(q) = 13800 + 65q 欧元。 求使利润最大的价格 p。
p = 170 − 0.1qC = 13800 + 65q
p = €
7.积分中等
计算 I = ∫24 1/x dx。
f(x) = 1/x[2, 4]
I =
8.积分困难
计算 I = ∫₀3 x²·eˣ dx。
∫₀3 x²eˣ dx
I =
3溶液
1.极限
答案: L = 0.6667
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
除以最高次幂
(2 + 1/x + 1/x2)/(3 + 2/x + 5/x2)
令 x → ∞
L = 2/3 = 0.6667
答案
L = 0.6667
次数相同时，极限为首项系数之比。
2.极限
答案: L = 0.125
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
(0.5·e0.5x − 0.5)/(2x) → 0/0
第二次应用
0.25·e0.5x/2
代入 x = 0
L = 0.25·1/2 = 0.125
答案
L = 0.125
3.导数
答案: f′(−2) = −0.9231
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
对数的链式法则
f′(x) = 6x/(3x2 + 1)
代入
f′(−2) = −12/13 = −0.9231
答案
f′(−2) = −0.9231
4.导数
答案: b = −29
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(3) = 22
f′(x) = 6x − 1 → f′(3) = 17
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 22 − 17·3 = −29
答案
b = −29
5.最优化
答案: S = 10800 cm²
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 x 的函数
S(x) = x² + 432000/x
令导数为零
S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0，所以这是最小值。
x³ = 216000 → x = 60 cm
高度和面积
h = 108000/60² = 30 cm
S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²
答案
S = 10800 cm²
最优的无盖盒子高度是底边长的一半。
6.最优化
答案: p = 117.5 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = (170 − 0.1q)·q − (13800 + 65q) = −0.1q2 + 105q − 13800
令导数为零
P″(q) = −0.2 < 0，所以这是最大值。
q = 105/0.2 = 525
价格和利润
p = 170 − 0.1·525 = €117.5
P = 105·525 − 0.1·525² − 13800 = €13763
答案
p = €117.5
7.积分
答案: I = 0.6931
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
原函数
F(x) = ln x
代入上下限
I = (ln 4 − ln 2) = ln 2 = 0.6931
答案
I = 0.6931
8.积分
答案: I = 98.43
分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。
第一轮
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
第二轮
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
极限
20.09·(5) − 1·2 = 98.43
答案
I = 98.43
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