极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (1 + 2/x)2x。给出小数值。
f(x) = (1 + 2/x)2xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (1 − cos 4x)/(2x²)，x 以弧度计。
f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = x·e0.5x。求 f′(0.5)。
f(x) = x·e0.5xx = 0.5
f′(0.5) =
4.导数困难
f(x) = 0.5x2 − 4x − 1 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = 0.5x2 − 4x − 1x = −1
b =
5.最优化中等
一块 600 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €20；其他三边每米造价 €5。 求最低总造价 C。
A = 600 m²€20/m€5/m
C = €
6.最优化困难
一家小企业以固定的市场价格每件 €75 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 6800 + 42q + 0.02q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。
p = €75C = 6800 + 42q + 0.02q²
q = 件
7.积分中等
计算 I = ∫13 5/x dx。
f(x) = 5/x[1, 3]
I =
8.积分困难
求由 y = 0.5x2 和 y = 2x 围成区域的面积 A。
y = 0.5x2y = 2x
A =
3溶液
1.极限
答案: L = 54.6
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
取对数
ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 + 2/x)
求值
当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。
ln L = 2·2 = 4
还原对数
L = e4 = 54.6
答案
L = 54.6
2.极限
答案: L = 4
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
4·sin 4x/(4x) → 0/0
第二次应用
16·cos 4x/4
代入 x = 0
L = 16/4 = 4
答案
L = 4
3.导数
答案: f′(0.5) = 1.605
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则
f′(x) = u′v + uv′ = e0.5x·(1 + 0.5·x)
代入
f′(0.5) = 1.284·(1 + 0.25) = 1.605
答案
f′(0.5) = 1.605
4.导数
答案: b = −1.5
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(−1) = 3.5
f′(x) = x − 4 → f′(−1) = −5
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 3.5 − (−5)·(−1) = −1.5
答案
b = −1.5
5.最优化
答案: C = 774.6 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
造价关于 x 的函数
C(x) = 25x + 6000/x
令导数为零
C″(x) = 12000/x³ > 0，所以这是最小值。
x = √(6000/25) = 15.49 m
y = 600/15.49 = 38.73 m
最低造价
C = 25·15.49 + 6000/15.49 = €774.6
答案
C = €774.6
6.最优化
答案: q = 825 件
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = 75q − (6800 + 42q + 0.02q²) = −0.02q2 + 33q − 6800
令导数为零
P″(q) = −0.04 < 0，所以这是最大值。
33 − 0.04q = 0 → q = 825
最大利润
P = 33·825 − 0.02·825² − 6800 = €6813
答案
q = 825
7.积分
答案: I = 5.493
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
原函数
F(x) = 5·ln x
代入上下限
I = 5·(ln 3 − ln 1) = 5·ln 3 = 5.493
答案
I = 5.493
8.积分
答案: A = 5.333
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
交点
0.5x2 = 2x → x = 0, x = 4
对上减下积分
A = [x2 − 0.1667x3]04 = 5.333
答案
A = 5.333
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