极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (−x3 − x − 5)/(4x3 + 4x + 7)。
f(x) = (−x3 − x − 5)/(4x3 + 4x + 7)x → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 ln(1 + 4x)/sin(2x)，x 以弧度计。
f(x) = ln(1 + 4x)/sin(2x)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = x·sin(x)，x 以弧度计。求 f′(2)。
f(x) = x·sin(x)x = 2 rad
f′(2) =
4.导数困难
f(x) = 0.5x2 − 3x − 1 在 x = 2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = 0.5x2 − 3x − 1x = 2
b =
5.最优化中等
一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 500 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时罐的高度 h。
V = 500 cm³
h = cm
6.最优化困难
一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 70 − 0.2q 欧元/件，成本为 C(q) = 700 + 40q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。
p = 70 − 0.2qC = 700 + 40q
q = 件
7.积分中等
将 y = 2x 之下、从 x = 0 到 x = 1 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（圆锥）的体积 V。
y = 2x0 ≤ x ≤ 1
V =
8.积分困难
将直线 y = 4x 与抛物线 y = 2x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。
y = 4xy = 2x²
V =
3溶液
1.极限
答案: L = −0.25
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
除以最高次幂
(−1 + (−1)/x2 + (−5)/x3)/(4 + 4/x2 + 7/x3)
令 x → ∞
L = −1/4 = −0.25
答案
L = −0.25
次数相同时，极限为首项系数之比。
2.极限
答案: L = 2
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
洛必达法则
L = limx→0 [4/(1 + 4x)]/[2·cos 2x]
代入 x = 0
L = 4/2 = 2
答案
L = 2
3.导数
答案: f′(2) = 0.077
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则与链式法则
f′(x) = sin(x) + x·cos(x)
代入
f′(2) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077
答案
f′(2) = 0.077
4.导数
答案: b = −3
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(2) = −5
f′(x) = x − 3 → f′(2) = −1
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5 − (−1)·2 = −3
答案
b = −3
5.最优化
答案: h = 8.603 cm
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 r 的函数
h = 500/(πr²)
A(r) = 2πr² + 1000/r
令导数为零
A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0，所以这是最小值。
4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4.301 cm
高度和面积
h = 500/(π·4.301²) = 2r = 8.603 cm
A = 2π·4.301² + 1000/4.301 = 348.7 cm²
答案
h = 8.603 cm
最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。
6.最优化
答案: q = 75 件
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = (70 − 0.2q)·q − (700 + 40q) = −0.2q2 + 30q − 700
令导数为零
P″(q) = −0.4 < 0，所以这是最大值。
q = 30/0.4 = 75
价格和利润
p = 70 − 0.2·75 = €55
P = 30·75 − 0.2·75² − 700 = €425
答案
q = 75
7.积分
答案: V = 4.189
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
圆盘法
V = π∫₀1 4x² dx
积分
V = π·4·1³/3 = 4.189
答案
V = 4.189
检验：半径 2、高 1 的圆锥体积为 (1/3)πr²h = 4.189。
8.积分
答案: V = 53.62
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
交点
4x = 2x² → x = 0, x = 2
垫圈法
V = π∫₀2 ((4x)² − (2x²)²) dx
积分
V = π(16·2³/3 − 4·2⁵/5) = π·17.07 = 53.62
答案
V = 53.62
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