极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (√(4x2 − 5x) − 2x)。
f(x) = √(4x2 − 5x) − 2xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 ln(1 + 5x)/sin(2x)，x 以弧度计。
f(x) = ln(1 + 5x)/sin(2x)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = x·sin(2x)，x 以弧度计。求 f′(2)。
f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad
f′(2) =
4.导数困难
f(x) = x2 − 2x − 6 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = x2 − 2x − 6x = −1
b =
5.最优化中等
一块 300 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €15；其他三边每米造价 €8。 求使造价最低的临街边长度 x。
A = 300 m²€15/m€8/m
x = m
6.最优化困难
一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 60 − 0.25q 欧元/件，成本为 C(q) = 400 + 30q 欧元。 求使利润最大的每周产量 q。
p = 60 − 0.25qC = 400 + 30q
q = 件
7.积分中等
计算 I = ∫₁5 x·ln x dx。
∫₁5 x ln x dx
I =
8.积分困难
计算 I = ∫₀0.5 x²·eˣ dx。
∫₀0.5 x²eˣ dx
I =
3溶液
1.极限
答案: L = −1.25
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
乘以共轭式
f(x) = −5x/(√(4x2 − 5x) + 2x)
除以 x
f(x) = −5/(√(4 + (−5)/x) + 2)
令 x → ∞
L = −5/(2 + 2) = −1.25
答案
L = −1.25
2.极限
答案: L = 2.5
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
洛必达法则
L = limx→0 [5/(1 + 5x)]/[2·cos 2x]
代入 x = 0
L = 5/2 = 2.5
答案
L = 2.5
3.导数
答案: f′(2) = −3.371
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则与链式法则
f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)
代入
f′(2) = −0.7568 + 4·(−0.6536) = −3.371
答案
f′(2) = −3.371
4.导数
答案: b = −7
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(−1) = −3
f′(x) = 2x − 2 → f′(−1) = −4
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − (−4)·(−1) = −7
答案
b = −7
5.最优化
答案: x = 14.45 m
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
造价关于 x 的函数
C(x) = 23x + 4800/x
令导数为零
C″(x) = 9600/x³ > 0，所以这是最小值。
x = √(4800/23) = 14.45 m
y = 300/14.45 = 20.77 m
最低造价
C = 23·14.45 + 4800/14.45 = €664.5
答案
x = 14.45 m
6.最优化
答案: q = 60 件
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = (60 − 0.25q)·q − (400 + 30q) = −0.25q2 + 30q − 400
令导数为零
P″(q) = −0.5 < 0，所以这是最大值。
q = 30/0.5 = 60
价格和利润
p = 60 − 0.25·60 = €45
P = 30·60 − 0.25·60² − 400 = €500
答案
q = 60
7.积分
答案: I = 14.12
分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。
选取 u 和 dv
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
原函数
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
极限
(12.5·ln 5 − 6.25) − (0 − 0.25) = 14.12
答案
I = 14.12
8.积分
答案: I = 0.0609
分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。
第一轮
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
第二轮
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
极限
1.649·(1.25) − 1·2 = 0.0609
答案
I = 0.0609
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1