极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (−x2 + 5x − 4)/(4x2 + x + 3)。
f(x) = (−x2 + 5x − 4)/(4x2 + x + 3)x → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (1 − cos 4x)/(4x²)，x 以弧度计。
f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = (3x − 1)4。求 f′(−1)。
f(x) = (3x − 1)4x = −1
f′(−1) =
4.导数困难
f(x) = 0.5x2 − 5x − 5 在 x = 3 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = 0.5x2 − 5x − 5x = 3
b =
5.最优化中等
一块 800 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €25；其他三边每米造价 €10。 求使造价最低的临街边长度 x。
A = 800 m²€25/m€10/m
x = m
6.最优化困难
一家小企业以固定的市场价格每件 €20 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 100 + 4q + 0.2q² 欧元。 求使利润最大的产量 q。
p = €20C = 100 + 4q + 0.2q²
q = 件
7.积分中等
将 y = √(4x) 之下、从 x = 0 到 x = 3 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（抛物面体）的体积 V。
y = √(4x)0 ≤ x ≤ 3
V =
8.积分困难
将直线 y = 5x 与抛物线 y = 2x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。
y = 5xy = 2x²
V =
3溶液
1.极限
答案: L = −0.25
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
除以最高次幂
(−1 + 5/x + (−4)/x2)/(4 + 1/x + 3/x2)
令 x → ∞
L = −1/4 = −0.25
答案
L = −0.25
次数相同时，极限为首项系数之比。
2.极限
答案: L = 2
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
4·sin 4x/(8x) → 0/0
第二次应用
16·cos 4x/8
代入 x = 0
L = 16/8 = 2
答案
L = 2
3.导数
答案: f′(−1) = −768
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
链式法则
f′(x) = 4·(3x − 1)3·3
代入
f′(−1) = 4·(−4)3·3 = −768
答案
f′(−1) = −768
4.导数
答案: b = −9.5
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(3) = −15.5
f′(x) = x − 5 → f′(3) = −2
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −15.5 − (−2)·3 = −9.5
答案
b = −9.5
5.最优化
答案: x = 21.38 m
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
造价关于 x 的函数
C(x) = 35x + 16000/x
令导数为零
C″(x) = 32000/x³ > 0，所以这是最小值。
x = √(16000/35) = 21.38 m
y = 800/21.38 = 37.42 m
最低造价
C = 35·21.38 + 16000/21.38 = €1497
答案
x = 21.38 m
6.最优化
答案: q = 40 件
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = 20q − (100 + 4q + 0.2q²) = −0.2q2 + 16q − 100
令导数为零
P″(q) = −0.4 < 0，所以这是最大值。
16 − 0.4q = 0 → q = 40
最大利润
P = 16·40 − 0.2·40² − 100 = €220
答案
q = 40
7.积分
答案: V = 56.55
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
圆盘法
V = π∫₀3 4x dx
积分
V = π·4·3²/2 = 56.55
答案
V = 56.55
8.积分
答案: V = 163.6
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
交点
5x = 2x² → x = 0, x = 2.5
垫圈法
V = π∫₀2.5 ((5x)² − (2x²)²) dx
积分
V = π(25·2.5³/3 − 4·2.5⁵/5) = π·52.08 = 163.6
答案
V = 163.6
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