极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (x2 + 5x − 2)/(x2 + 2x + 5)。
f(x) = (x2 + 5x − 2)/(x2 + 2x + 5)x → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (e3x − 1 − 3x)/x²。
f(x) = (e3x − 1 − 3x)/x²x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = ln(2x2 + 5)。求 f′(1)。
f(x) = ln(2x2 + 5)x = 1
f′(1) =
4.导数困难
f(x) = x2 − 3x + 6 在 x = 1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = x2 − 3x + 6x = 1
b =
5.最优化中等
一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 400 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时罐的高度 h。
V = 400 cm³
h = cm
6.最优化困难
一家小企业以固定的市场价格每件 €55 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 32500 + 4q + 0.01q² 欧元。 求最大利润 P。
p = €55C = 32500 + 4q + 0.01q²
P = €
7.积分中等
计算 I = ∫₀π/3 x·cos x dx（x 以弧度为单位）。
∫₀π/3 x·cos x dx
I =
8.积分困难
将直线 y = 3x 与抛物线 y = 3x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。
y = 3xy = 3x²
V =
3溶液
1.极限
答案: L = 1
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
除以最高次幂
(1 + 5/x + (−2)/x2)/(1 + 2/x + 5/x2)
令 x → ∞
L = 1/1 = 1
答案
L = 1
次数相同时，极限为首项系数之比。
2.极限
答案: L = 4.5
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
(3·e3x − 3)/(2x) → 0/0
第二次应用
9·e3x/2
代入 x = 0
L = 9·1/2 = 4.5
答案
L = 4.5
3.导数
答案: f′(1) = 0.5714
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
对数的链式法则
f′(x) = 4x/(2x2 + 5)
代入
f′(1) = 4/7 = 0.5714
答案
f′(1) = 0.5714
4.导数
答案: b = 5
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(1) = 4
f′(x) = 2x − 3 → f′(1) = −1
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4 − (−1)·1 = 5
答案
b = 5
5.最优化
答案: h = 7.986 cm
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 r 的函数
h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r
令导数为零
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0，所以这是最小值。
4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm
高度和面积
h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm
A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²
答案
h = 7.986 cm
最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。
6.最优化
答案: P = 32525 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = 55q − (32500 + 4q + 0.01q²) = −0.01q2 + 51q − 32500
令导数为零
P″(q) = −0.02 < 0，所以这是最大值。
51 − 0.02q = 0 → q = 2550
最大利润
P = 51·2550 − 0.01·2550² − 32500 = €32525
答案
P = €32525
7.积分
答案: I = 0.4069
分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。
选取 u 和 dv
u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x
原函数
∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x
极限
(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0.4069
答案
I = 0.4069
8.积分
答案: V = 3.77
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
交点
3x = 3x² → x = 0, x = 1
垫圈法
V = π∫₀1 ((3x)² − (3x²)²) dx
积分
V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1.2 = 3.77
答案
V = 3.77
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