微积分（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

最优化

方法: 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
最大值: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小值: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
封闭圆柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利润: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^3x。给出小数值。

f(x) = (1 − 1/x)^3xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x²。

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x²·e^−x。求 f′(0.5)。

f(x) = x²·e^−xx = 0.5

f′(0.5) =

4.导数困难

f(x) = 3x² − x + 3 在 x = 3 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 3x² − x + 3x = 3

b =

5.最优化中等

一个正方形底的无盖盒子须容纳 32000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。求高度 h。

V = 32000 cm³

h = cm

6.最优化困难

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 120 − 1q 欧元/件，成本为 C(q) = 500 + 50q 欧元。求使利润最大的每周产量 q。

p = 120 − 1qC = 500 + 50q

q = 件

7.积分中等

计算 I = ∫₁^1.5 x·ln x dx。

∫₁^1.5 x ln x dx

I =

8.积分困难

将直线 y = x 与抛物线 y = x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。

y = xy = x²

V =

3溶液

1.极限

答案: L = 0.04979

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 1/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 3·(−1) = −3

还原对数

L = e⁻³ = 0.04979

答案

L = 0.04979

2.极限

答案: L = 2

第一次应用

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

第二次应用

4·e^−2x/2

代入 x = 0

L = 4·1/2 = 2

答案

L = 2

3.导数

答案: f′(0.5) = 0.4549

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(2x + (−1)·x²)

代入

f′(0.5) = 0.6065·(1 + (−0.25)) = 0.4549

答案

f′(0.5) = 0.4549

4.导数

答案: b = −24

切点和斜率

f(3) = 27

f′(x) = 6x − 1 → f′(3) = 17

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 27 − 17·3 = −24

答案

b = −24

5.最优化

答案: h = 20 cm

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

面积关于 x 的函数

S(x) = x² + 128000/x

令导数为零

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0，所以这是最小值。

x³ = 64000 → x = 40 cm

高度和面积

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

答案

h = 20 cm

最优的无盖盒子高度是底边长的一半。

6.最优化

答案: q = 35 件

利润函数

P(q) = (120 − 1q)·q − (500 + 50q) = −q² + 70q − 500

令导数为零

P″(q) = −2 < 0，所以这是最大值。

q = 70/2 = 35

价格和利润

p = 120 − 1·35 = €85

P = 70·35 − 1·35² − 500 = €725

答案

q = 35

7.积分

答案: I = 0.1436

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原函数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

极限

(1.125·ln 1.5 − 0.5625) − (0 − 0.25) = 0.1436

答案

I = 0.1436

8.积分

答案: V = 0.4189

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

交点

1x = 1x² → x = 0, x = 1

垫圈法

V = π∫₀¹ ((1x)² − (1x²)²) dx

积分

V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0.1333 = 0.4189

答案

V = 0.4189

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1