极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (1 + 1/x)3x。给出小数值。
f(x) = (1 + 1/x)3xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 ln(1 + 3x)/sin(5x)，x 以弧度计。
f(x) = ln(1 + 3x)/sin(5x)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = x·sin(x)，x 以弧度计。求 f′(0.5)。
f(x) = x·sin(x)x = 0.5 rad
f′(0.5) =
4.导数困难
f(x) = x2 − 2x − 5 在 x = −2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = x2 − 2x − 5x = −2
b =
5.最优化中等
一个正方形底的无盖盒子须容纳 32000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。 求高度 h。
V = 32000 cm³
h = cm
6.最优化困难
一家剧院每场以每张 €12 售出 750 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 25 张（每降低 €1，就多 25 张）。 求使收入最大的票价 p。
750 × €1225 / €1
p = €
7.积分中等
计算 I = ∫03 e0.5x dx。
f(x) = e0.5x[0, 3]
I =
8.积分困难
求抛物线 y = 1 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。
y = 1 − x²
A =
3溶液
1.极限
答案: L = 20.09
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
取对数
ln L = limx→∞ 3·x·ln(1 + 1/x)
求值
当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。
ln L = 3·1 = 3
还原对数
L = e3 = 20.09
答案
L = 20.09
2.极限
答案: L = 0.6
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
洛必达法则
L = limx→0 [3/(1 + 3x)]/[5·cos 5x]
代入 x = 0
L = 3/5 = 0.6
答案
L = 0.6
3.导数
答案: f′(0.5) = 0.9182
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则与链式法则
f′(x) = sin(x) + x·cos(x)
代入
f′(0.5) = 0.4794 + 0.5·0.8776 = 0.9182
答案
f′(0.5) = 0.9182
4.导数
答案: b = −9
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(−2) = 3
f′(x) = 2x − 2 → f′(−2) = −6
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 3 − (−6)·(−2) = −9
答案
b = −9
5.最优化
答案: h = 20 cm
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 x 的函数
S(x) = x² + 128000/x
令导数为零
S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0，所以这是最小值。
x³ = 64000 → x = 40 cm
高度和面积
h = 32000/40² = 20 cm
S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²
答案
h = 20 cm
最优的无盖盒子高度是底边长的一半。
6.最优化
答案: p = 21 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
收入关于价格的函数
n(p) = 1050 − 25p
R(p) = 1050p − 25p²
令导数为零
R″(p) = −50 < 0，所以这是最大值。
p = 1050/50 = €21
最大收入
n = 1050 − 25·21 = 525
R = 21·525 = €11025
答案
p = €21
7.积分
答案: I = 6.963
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
原函数
F(x) = e0.5x/0.5
代入上下限
I = (e1.5 − 1)/0.5 = (4.482 − 1)/0.5 = 6.963
答案
I = 6.963
8.积分
答案: A = 1.333
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
零点
1 − x² = 0 → x = ±1
积分
A = [1x − x³/3]−11 = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333
答案
A = 1.333
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