微积分（二）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

多元微积分

偏导数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
梯度: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向导数: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
链式法则: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
二阶导数检验: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
极坐标: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
梯度类题目要在该点计算 ∇f = (f_x, f_y)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
求极值时联立求解 f_x = 0 和 f_y = 0，然后用 D = f_xx·f_yy − f_xy² 对每个点分类。
对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.积分中等

计算 I = ∫₂¹⁰ 2/x dx。

f(x) = 2/x[2, 10]

I =

2.积分困难

求由 y = 2x² 和 y = x 围成区域的面积 A。

y = 2x²y = x

A =

3.数列与级数中等

对 Σ_k=1^∞ (k!)²·2ᵏ/(2k)! 应用比值判别法。求 L = lim |a_k+1/a_k|。

a_k = (k!)²·2ᵏ/(2k)!

L =

4.数列与级数困难

求 f(x) = ∛x 在 a = 8 处的泰勒级数中 (x − 8)² 的系数 c₂。

f(x) = ∛xa = 8k = 2

c₂ =

5.多元微积分中等

对于 f(x, y) = −3x³y² + 2x² + 5y² − xy，求 f 在点 (2, 1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = −3x³y² + 2x² + 5y² − xyP = (2, 1)

|∇f| =

6.多元微积分困难

f(x, y) = 2x² + 3xy + y² − 14x − 10y − 5 在 (2, 2) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = f_xxf_yy − f_xy²。

f(x, y) = 2x² + 3xy + y² − 14x − 10y − 5P = (2, 2)

D =

7.微分方程中等

一杯 87 °C 的咖啡放在 20 °C 的房间里。 29 min 后其温度为 27 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 45 °C？

T₀ = 87 °CT_a = 20 °CT(29) = 27 °CT = 45 °C

t = min

8.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 27.25y = 54.5，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 3y′ + 27.25y = 54.5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3溶液

1.积分

答案: I = 3.219

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 2·ln x

代入上下限

I = 2·(ln 10 − ln 2) = 2·ln 5 = 3.219

答案

I = 3.219

2.积分

答案: A = 0.04167

交点

2x² = x → x = 0, x = 0.5

对上减下积分

A = [0.5x² − 0.6667x³]₀^0.5 = 0.04167

答案

A = 0.04167

3.数列与级数

答案: L = 0.5

相邻项之比

|a_k+1/a_k| = 2·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 2/4

结论

L = 0.5 < 1

答案

L = 0.5

L < 1，所以级数收敛。

4.数列与级数

答案: c₂ = −0.003472

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数 f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −0.2222·x^{1/3 − 2}

系数

c₂ = −0.2222·8^{1/3 − 2}/2! = −0.003472

c₂ = −0.003472

答案

c₂ = −0.003472

5.多元微积分

答案: |∇f| = 49.41

梯度：∇f = (f_x, f_y) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 D_uf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

偏导数

f_x = −9x²y² + 4x − y → f_x(2, 1) = −29

f_y = −6x³y + 10y − x → f_y(2, 1) = −40

梯度的长度

|∇f| = √((−29)² + (−40)²) = 49.41

答案

|∇f| = 49.41

6.多元微积分

答案: D = −1

临界点与二重积分：临界点满足 f_x = f_y = 0。用 D = f_xxf_yy − f_xy² 做二阶导数检验：D > 0 且 f_xx > 0 为局部极小值，D > 0 且 f_xx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

二阶导数

f_xx = 4, f_yy = 2, f_xy = 3

判别式

D = 4·2 − 3² = −1

→ 鞍点

答案

D = −1

7.微分方程

答案: t = 12.66 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(67/7)/29 = 0.07789 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(67/25)/0.07789 = 12.66 min

答案

t = 12.66 min

8.微分方程

答案: y_max = 2.779

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

y_ss = 2, r = −1.5 ± 5j

由初值求常数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1.5A + 5B = 0 → B = −0.6

峰值

t = π/5 = 0.6283

y_max = 2·(1 + e^−1.5·π/5) = 2.779

答案

y_max = 2.779

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