微积分（二）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

积分

幂法则
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分
∫ab f dx = F(b) − F(a)
常用积分
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积
∫ab (f − g) dx

方法

  1. 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
  2. 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
  3. 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
  4. 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

多元微积分

偏导数
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
梯度
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
方向导数
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
链式法则
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
二阶导数检验
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
极坐标
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

  1. 求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
  2. 梯度类题目要在该点计算 ∇f = (fx, fy)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
  3. 求极值时联立求解 fx = 0 和 fy = 0，然后用 D = fxx·fyy − fxy² 对每个点分类。
  4. 对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.积分中等
xy28

计算 I = ∫28 3/x dx。

f(x) = 3/x[2, 8]
I =
2.积分困难
xy−11

求抛物线 y = 1 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 1 − x²
A =
3.数列与级数中等
AΣ (3/4)ᵏk = 1 … ∞BΣ (k + 5)/k²k = 1 … ∞CΣ (3k + 1)/(k + 2)k = 1 … ∞DΣ 3ᵏ/k³k = 1 … ∞

四个级数中恰有一个收敛。点选它。

A: Σ (3/4)ᵏB: Σ (k + 5)/k²C: Σ (3k + 1)/(k + 2)D: Σ 3ᵏ/k³
  1. 1A: Σ (3/4)ᵏ
  2. 2B: Σ (k + 5)/k²
  3. 3C: Σ (3k + 1)/(k + 2)
  4. 4D: Σ 3ᵏ/k³
4.数列与级数困难
xyfP₅2

用 f(x) = sin x 的 5 次麦克劳林多项式近似 f(2)。给出 P₅(2)。

f(x) = sin xn = 5x = 2
P₅(2) =
5.多元微积分中等

z = 3x³y + x² − y² − xy，其中 x = 2t − 2，y = −2t² − 2。用链式法则求 t = −1 时的 dz/dt。

z = 3x³y + x² − y² − xyx = 2t − 2y = −2t² − 2t = −1
dz/dt =
6.多元微积分困难
xyx = 1y = x1

积分 I = ∫01 ∫y1 cos(x²) dx dy 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = cos(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1
I =
7.微分方程中等
t (min)T (°C)11Ta​342 °C

一个 420 °C 的钢锻件放在 23 °C 的车间里冷却。 11 min 后其温度为 342 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T0 = 420 °CTa = 23 °CT(11) = 342 °C
k = min⁻¹
8.微分方程困难
tyK = 5y(0.25) = ?

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 2y′ + 5y = 25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.25)；角度以弧度为单位。

y″ + 2y′ + 5y = 25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =

3溶液

1.积分

答案: I = 4.159

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 3·ln x

代入上下限

I = 3·(ln 8 − ln 2) = 3·ln 4 = 4.159

答案

I = 4.159
2.积分

答案: A = 1.333

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

零点

1 − x² = 0 → x = ±1

积分

A = [1x − x³/3]−11 = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

答案

A = 1.333
3.数列与级数

答案: A: Σ (3/4)ᵏ

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

检验每个级数

A: Σ (3/4)ᵏ → 等比级数，r = 3/4，|r| < 1：收敛。
B: Σ (k + 5)/k² → k 很大时近似于 1/k：与调和级数比较，发散。
C: Σ (3k + 1)/(k + 2) → 各项趋于 3，而不是 0：由通项判别法，发散。
D: Σ 3ᵏ/k³ → 比值判别法：L = 3 > 1，发散。

答案

A: Σ (3/4)ᵏ

答案

A: Σ (3/4)ᵏ
4.数列与级数

答案: P₅(2) = 0.9333

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

麦克劳林多项式

P₅(x) = x − 0.1667x³ + 0.008333x⁵

代入

P₅(2) = 2 − 1.333333 + 0.266667 = 0.9333

答案

P₅(2) = 0.9333

精确值为 f(2) = 0.909297；取更多项或取更靠近 0 的点时，误差 −0.0240359 会变小。

5.多元微积分

答案: dz/dt = −1880

梯度：∇f = (fx, fy) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 Duf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。

点与变化率

x(−1) = −4, y(−1) = −4
dx/dt = 2, dy/dt = −4t = 4

偏导数

fx = 9x²y + 2x − y = −580
fy = 3x³ − 2y − x = −180

链式法则

dz/dt = (−580)·2 + (−180)·4 = −1880

答案

dz/dt = −1880
6.多元微积分

答案: I = 0.4207

临界点与二重积分：临界点满足 fx = fy = 0。用 D = fxxfyy − fxy² 做二阶导数检验：D > 0 且 fxx > 0 为局部极小值，D > 0 且 fxx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

区域

0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1

交换顺序

I = ∫01 ∫0x cos(x²) dy dx = ∫01 x·cos(x²) dx

代换 u = x²

I = [sin(x²)/2]01 = 0.4207

答案

I = 0.4207
7.微分方程

答案: k = 0.01989 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e−11k = 319/397

解出 k

k = ln(397/319)/11 = 0.01989 min⁻¹

答案

k = 0.01989 min⁻¹
8.微分方程

答案: y(0.25) = 0.6492

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

yss = 5, r = −1 ± 2j

由初值求常数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5
y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −2.5

求值

y(0.25) = 5·(1 − e−0.25(cos 0.5 + 0.5·sin 0.5)) = 0.6492

答案

y(0.25) = 0.6492

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