微积分（二）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

积分

幂法则
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分
∫ab f dx = F(b) − F(a)
常用积分
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积
∫ab (f − g) dx

方法

  1. 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
  2. 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
  3. 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
  4. 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

多元微积分

偏导数
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
梯度
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
方向导数
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
链式法则
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
二阶导数检验
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
极坐标
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

  1. 求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
  2. 梯度类题目要在该点计算 ∇f = (fx, fy)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
  3. 求极值时联立求解 fx = 0 和 fy = 0，然后用 D = fxx·fyy − fxy² 对每个点分类。
  4. 对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.积分中等
xyπ/3y = x·cos x

计算 I = ∫₀π/3 x·cos x dx（x 以弧度为单位）。

∫₀π/3 x·cos x dx
I =
2.积分困难
xy−11

求抛物线 y = 1 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 1 − x²
A =
3.数列与级数中等
AΣ 2ᵏ/k!k = 1 … ∞BΣ 1/√kk = 1 … ∞CΣ 1/k³k = 1 … ∞DΣ 1/(k(k + 2))k = 1 … ∞

四个级数中恰有一个发散。点选它。

A: Σ 2ᵏ/k!B: Σ 1/√kC: Σ 1/k³D: Σ 1/(k(k + 2))
  1. 1A: Σ 2ᵏ/k!
  2. 2B: Σ 1/√k
  3. 3C: Σ 1/k³
  4. 4D: Σ 1/(k(k + 2))
4.数列与级数困难

f(x) = sin x 在 x = 0.8 处用其 5 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 1）求最大可能误差 |R₅|。

f(x) = sin xn = 5x = 0.8M = 1
|R₅| =
5.多元微积分中等

z = 2 ln(x² + 3y²)，其中 x = t − 1，y = −t² + 1。用链式法则求 t = 2 时的 dz/dt。

z = 2 ln(x² + 3y²)x = t − 1y = −t² + 1t = 2
dz/dt =
6.多元微积分困难
xy0−2024(2, 3)(−2, 3)

求 f(x, y) = x³ − 12x + y² − 6y 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极小值处的值 fmin。

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 6y
fmin =
7.微分方程中等
t (min)T (°C)12Ta​52 °C32 °C

一杯 86 °C 的咖啡放在 19 °C 的房间里。 12 min 后其温度为 52 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 32 °C？

T0 = 86 °CTa = 19 °CT(12) = 52 °CT = 32 °C
t = min
8.微分方程困难
t (min)m (kg)t = ?46 kg

一个水箱装有 400 L 水，其中溶有 10 kg 盐。 每升含盐 0.25 kg 的盐水以 5 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 多少分钟 t 后水箱中含盐 46 kg？

V = 400 Lm0 = 10 kgc = 0.25 kg/Lr = 5 L/min
t = min

3溶液

1.积分

答案: I = 0.4069

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原函数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

极限

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0.4069

答案

I = 0.4069
2.积分

答案: A = 1.333

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

零点

1 − x² = 0 → x = ±1

积分

A = [1x − x³/3]−11 = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

答案

A = 1.333
3.数列与级数

答案: B: Σ 1/√k

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

检验每个级数

A: Σ 2ᵏ/k! → 比值判别法：L = lim 2/(k + 1) = 0 < 1，收敛。
B: Σ 1/√k → p-级数，p = 1/2 ≤ 1：发散。
C: Σ 1/k³ → p-级数，p = 3 > 1：收敛。
D: Σ 1/(k(k + 2)) → 小于 1/k²：由比较判别法收敛。

答案

B: Σ 1/√k

答案

B: Σ 1/√k
4.数列与级数

答案: |R₅| = 0.0003641

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = 1

拉格朗日误差界

|R₅| ≤ 1·0.8⁶/6! = 0.0003641

答案

|R₅| = 0.0003641

真实误差更小：|f(0.8) − P₅(0.8)| = 4.124 × 10⁻⁵。

5.多元微积分

答案: dz/dt = 5.286

梯度：∇f = (fx, fy) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 Duf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。

点与变化率

x(2) = 1, y(2) = −3
dx/dt = 1, dy/dt = −2t = −4

偏导数

fx = 4x/(x² + 3y²) = 0.1429
fy = 12y/(x² + 3y²) = −1.286

链式法则

dz/dt = 0.1429·1 + (−1.286)·(−4) = 5.286

答案

dz/dt = 5.286
6.多元微积分

答案: fmin = −25

临界点与二重积分：临界点满足 fx = fy = 0。用 D = fxxfyy − fxy² 做二阶导数检验：D > 0 且 fxx > 0 为局部极小值，D > 0 且 fxx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

临界点

联立求解 fx = 0 和 fy = 0。

fx = (3x² − 12) = 0
fy = (2y − 6) = 0
(2, 3), (−2, 3)

二阶导数检验

(2, 3): fxx = 12, fyy = 2, fxy = 0, D = 24 → 局部极小值
(−2, 3): fxx = −12, fyy = 2, fxy = 0, D = −24 → 鞍点

极值处的值

f(2, 3) = −25

答案

fmin = −25
7.微分方程

答案: t = 27.78 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(67/33)/12 = 0.05902 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(67/13)/0.05902 = 27.78 min

答案

t = 27.78 min
8.微分方程

答案: t = 40.87 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

结果

m(t) = 100 + (−90)·e−t/80

解出 t

e−t/80 = (100 − 46)/(100 − 10) = 0.6
t = 80·ln(1.667) = 40.87 min

答案

t = 40.87 min

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