微积分（二）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

多元微积分

偏导数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
梯度: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向导数: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
链式法则: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
二阶导数检验: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
极坐标: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
梯度类题目要在该点计算 ∇f = (f_x, f_y)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
求极值时联立求解 f_x = 0 和 f_y = 0，然后用 D = f_xx·f_yy − f_xy² 对每个点分类。
对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.积分中等

计算 I = ∫₀³ e^x dx。

f(x) = e^x[0, 3]

I =

2.积分困难

计算 I = ∫₀^1.5 x²·eˣ dx。

∫₀^1.5 x²eˣ dx

I =

3.数列与级数中等

四个级数中恰有一个发散。点选它。

A: Σ k³/5ᵏB: Σ 2/kC: Σ (2/5)ᵏD: Σ 1/(k² + 2)

1A: Σ k³/5ᵏ
2B: Σ 2/k
3C: Σ (2/5)ᵏ
4D: Σ 1/(k² + 2)

4.数列与级数困难

求 f(x) = eˣ 在 a = −1 处的泰勒级数中 (x + 1)² 的系数 c₂。

f(x) = eˣa = −1k = 2

c₂ =

5.多元微积分中等

z = x²y² − 3x² + 3y² + 3xy 在 (x, y) = (1, 2) 处的切平面可以写成 z = px + qy + c。求 c。

f(x, y) = x²y² − 3x² + 3y² + 3xy(a, b) = (1, 2)

c =

6.多元微积分困难

图中标出的点是 f(x, y) = −x³ + 12x − y² + 6y 的临界点。点选局部极大值。

f(x, y) = −x³ + 12x − y² + 6y

1A (−2, 3)
2B (2, 3)

7.微分方程中等

一个 460 °C 的钢锻件放在 28 °C 的车间里冷却。 52 min 后其温度为 181 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 112 °C？

T₀ = 460 °CT_a = 28 °CT(52) = 181 °CT = 112 °C

t = min

8.微分方程困难

求解初值问题 y′ + 2y/x = 5，x > 0，y(1) = −2。求 y(2)。

y′ + 2y/x = 5y(1) = −2

y(2) =

3溶液

1.积分

答案: I = 19.09

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^x/1

代入上下限

I = (e³ − 1)/1 = (20.09 − 1)/1 = 19.09

答案

I = 19.09

2.积分

答案: I = 3.602

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

4.482·(1.25) − 1·2 = 3.602

答案

I = 3.602

3.数列与级数

答案: B: Σ 2/k

检验每个级数

A: Σ k³/5ᵏ → 比值判别法：L = 1/5 < 1，收敛。

B: Σ 2/k → 调和级数 (p = 1) 的倍数：发散。

C: Σ (2/5)ᵏ → 等比级数，r = 2/5，|r| < 1：收敛。

D: Σ 1/(k² + 2) → 小于 1/k²（收敛的 p-级数）：由比较判别法收敛。

答案

B: Σ 2/k

答案

B: Σ 2/k

4.数列与级数

答案: c₂ = 0.1839

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数 f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = eˣ

系数

c₂ = e⁻¹/2! = 0.1839

c₂ = 0.1839

答案

c₂ = 0.1839

5.多元微积分

答案: c = −27

梯度：∇f = (f_x, f_y) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 D_uf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

该点处的函数值与斜率

f(1, 2) = 19

f_x = 2xy² − 6x + 3y → f_x(1, 2) = 8

f_y = 2x²y + 6y + 3x → f_y(1, 2) = 19

切平面

z = 19 + 8(x − 1) + 19(y − 2)

z = 8x + 19y − 27

常数项

c = −27

答案

c = −27

6.多元微积分

答案: B (2, 3)

临界点与二重积分：临界点满足 f_x = f_y = 0。用 D = f_xxf_yy − f_xy² 做二阶导数检验：D > 0 且 f_xx > 0 为局部极小值，D > 0 且 f_xx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

临界点

联立求解 f_x = 0 和 f_y = 0。

f_x = −(3x² − 12) = 0

f_y = −(2y − 6) = 0

(2, 3), (−2, 3)

二阶导数检验

(2, 3): f_xx = −12, f_yy = −2, f_xy = 0, D = 24 → 局部极大值

(−2, 3): f_xx = 12, f_yy = −2, f_xy = 0, D = −24 → 鞍点

该点

B (2, 3): 局部极大值

答案

B (2, 3)

7.微分方程

答案: t = 82.04 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(432/153)/52 = 0.01996 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(432/84)/0.01996 = 82.04 min

答案

t = 82.04 min

8.微分方程

答案: y(2) = 2.417

积分因子

μ = e^{∫2/x dx} = x²

积分

(x²y)′ = 5x² → x²y = 5x³/3 + C

初始条件

−2 = 5/3 + C → C = −3.667

求值

y(2) = (5·2³/3 + (−3.667))/2² = 2.417

答案

y(2) = 2.417

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