微积分（二）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

积分

幂法则
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分
∫ab f dx = F(b) − F(a)
常用积分
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积
∫ab (f − g) dx

方法

  1. 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
  2. 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
  3. 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
  4. 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

多元微积分

偏导数
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
梯度
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
方向导数
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
链式法则
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
二阶导数检验
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
极坐标
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

  1. 求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
  2. 梯度类题目要在该点计算 ∇f = (fx, fy)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
  3. 求极值时联立求解 fx = 0 和 fy = 0，然后用 D = fxx·fyy − fxy² 对每个点分类。
  4. 对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.积分中等
xy26

计算 I = ∫26 2/x dx。

f(x) = 2/x[2, 6]
I =
2.积分困难
xyy = x2​y = 3x

求由 y = x2 和 y = 3x 围成区域的面积 A。

y = x2y = 3x
A =
3.数列与级数中等
xx₀ = −2??R

幂级数 Σk=1∞ k!·(x + 2)ᵏ/kᵏ 在以 x₀ = −2 为中心的区间上收敛。求该区间的左端点 x。

Σ k!·(x + 2)ᵏ/kᵏx₀ = −2
x =
4.数列与级数困难

f(x) = eˣ 在 x = 0.3 处用其 5 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = e0.3 = 1.35）求最大可能误差 |R₅|。

f(x) = eˣn = 5x = 0.3M = 1.35
|R₅| =
5.多元微积分中等
xy1−1∇fP

对于 f(x, y) = −4x²y³ + x² − 4y² − 2xy，求 f 在点 (1, −1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = −4x²y³ + x² − 4y² − 2xyP = (1, −1)
|∇f| =
6.多元微积分困难
xy−50−4−202AB

图中标出的点是 f(x, y) = x³ + y³ + 9xy 的临界点。点选鞍点。

f(x, y) = x³ + y³ + 9xy
  1. 1A (0, 0)
  2. 2B (−3, −3)
7.微分方程中等
t (min)T (°C)23Ta​260 °C164 °C

一个 400 °C 的钢锻件放在 20 °C 的车间里冷却。 23 min 后其温度为 260 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 164 °C？

T0 = 400 °CTa = 20 °CT(23) = 260 °CT = 164 °C
t = min
8.微分方程困难
tyy(0) = 1y(0.5) = ?

解 y″ + y′ + 25.25y = 0，其中 y(0) = 1，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(0.5)；角度以弧度为单位。

y″ + y′ + 25.25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.5) =

3溶液

1.积分

答案: I = 2.197

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 2·ln x

代入上下限

I = 2·(ln 6 − ln 2) = 2·ln 3 = 2.197

答案

I = 2.197
2.积分

答案: A = 4.5

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

x2 = 3x → x = 0, x = 3

对上减下积分

A = [1.5x2 − 0.3333x3]03 = 4.5

答案

A = 4.5
3.数列与级数

答案: x = −4.718

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

系数

ck/ck+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

半径

R = 2.718

区间

−4.718 < x < 0.7183
x = −4.718

答案

x = −4.718

比值判别法对两个端点没有结论；必须单独检验它们。

4.数列与级数

答案: |R₅| = 1.367 × 10⁻⁶

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = e0.3 = 1.35

拉格朗日误差界

|R₅| ≤ 1.35·0.3⁶/6! = 1.367 × 10⁻⁶

答案

|R₅| = 1.367 × 10⁻⁶

真实误差更小：|f(0.3) − P₅(0.3)| = 1.058 × 10⁻⁶。

5.多元微积分

答案: |∇f| = 13.42

梯度：∇f = (fx, fy) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 Duf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。

偏导数

fx = −8xy³ + 2x − 2y → fx(1, −1) = 12
fy = −12x²y² − 8y − 2x → fy(1, −1) = −6

梯度的长度

|∇f| = √(12² + (−6)²) = 13.42

答案

|∇f| = 13.42
6.多元微积分

答案: A (0, 0)

临界点与二重积分：临界点满足 fx = fy = 0。用 D = fxxfyy − fxy² 做二阶导数检验：D > 0 且 fxx > 0 为局部极小值，D > 0 且 fxx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

临界点

联立求解 fx = 0 和 fy = 0。

fx = 3x² + 9y = 0
fy = 3y² + 9x = 0
(0, 0), (−3, −3)

二阶导数检验

(0, 0): fxx = 0, fyy = 0, fxy = 9, D = −81 → 鞍点
(−3, −3): fxx = −18, fyy = −18, fxy = 9, D = 243 → 局部极大值

该点

A (0, 0): 鞍点

答案

A (0, 0)
7.微分方程

答案: t = 48.57 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(380/240)/23 = 0.01998 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(380/144)/0.01998 = 48.57 min

答案

t = 48.57 min
8.微分方程

答案: y(0.5) = −0.5773

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

复根

r = −0.5 ± 5j

常数

A = 1, B = 0.5·1/5 = 0.1

求值

y(0.5) = e−0.25(1·cos 2.5 + 0.1·sin 2.5) = −0.5773

答案

y(0.5) = −0.5773

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