微积分（二）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

积分

幂法则
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分
∫ab f dx = F(b) − F(a)
常用积分
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积
∫ab (f − g) dx

方法

  1. 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
  2. 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
  3. 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
  4. 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

多元微积分

偏导数
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
梯度
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
方向导数
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
链式法则
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
二阶导数检验
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
极坐标
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

  1. 求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
  2. 梯度类题目要在该点计算 ∇f = (fx, fy)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
  3. 求极值时联立求解 fx = 0 和 fy = 0，然后用 D = fxx·fyy − fxy² 对每个点分类。
  4. 对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.积分中等
xy210

计算 I = ∫210 2/x dx。

f(x) = 2/x[2, 10]
I =
2.积分困难
xyy = 0.5x2​y = 3x

求由 y = 0.5x2 和 y = 3x 围成区域的面积 A。

y = 0.5x2y = 3x
A =
3.数列与级数中等
AΣ 1/(2ᵏ + k)k = 1 … ∞BΣ (k + 5)/k²k = 1 … ∞CΣ 2ᵏ/k!k = 1 … ∞DΣ (4/5)ᵏk = 1 … ∞

四个级数中恰有一个发散。点选它。

A: Σ 1/(2ᵏ + k)B: Σ (k + 5)/k²C: Σ 2ᵏ/k!D: Σ (4/5)ᵏ
  1. 1A: Σ 1/(2ᵏ + k)
  2. 2B: Σ (k + 5)/k²
  3. 3C: Σ 2ᵏ/k!
  4. 4D: Σ (4/5)ᵏ
4.数列与级数困难

f(x) = sin x 在 x = 0.5 处用其 n 次麦克劳林多项式近似。利用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 1），求能保证误差小于 0.001 的最小次数 n。

f(x) = sin xx = 0.5M = 1ε = 0.001
n =
5.多元微积分中等
xy024−20PQ

对于 f(x, y) = 5x²y³ − 5x² − 4y³ − xy，求在 P(2, −1) 处朝向 Q(4, −1) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 5x²y³ − 5x² − 4y³ − xyP = (2, −1)Q = (4, −1)
Duf =
6.多元微积分困难
xy−202−101(1, 0)(−1, 0)

求 f(x, y) = x³ − 3x + y² 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极小值处的值 fmin。

f(x, y) = x³ − 3x + y²
fmin =
7.微分方程中等
t (min)T (°C)10Ta​T = ?

一罐 3 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 29 °C 的房间里。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.08 min⁻¹，求 10 min 后的温度 T。

T0 = 3 °CTa = 29 °Ck = 0.08 min⁻¹t = 10 min
T = °C
8.微分方程困难
ty2y(2) = ?

求解 y′ + 0.5y = 5e−2t，y(0) = 1。求 y(2)。

y′ + 0.5y = 5e−2ty(0) = 1
y(2) =

3溶液

1.积分

答案: I = 3.219

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 2·ln x

代入上下限

I = 2·(ln 10 − ln 2) = 2·ln 5 = 3.219

答案

I = 3.219
2.积分

答案: A = 18

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

0.5x2 = 3x → x = 0, x = 6

对上减下积分

A = [1.5x2 − 0.1667x3]06 = 18

答案

A = 18
3.数列与级数

答案: B: Σ (k + 5)/k²

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

检验每个级数

A: Σ 1/(2ᵏ + k) → 小于 (1/2)ᵏ（收敛的等比级数）：由比较判别法收敛。
B: Σ (k + 5)/k² → k 很大时近似于 1/k：与调和级数比较，发散。
C: Σ 2ᵏ/k! → 比值判别法：L = lim 2/(k + 1) = 0 < 1，收敛。
D: Σ (4/5)ᵏ → 等比级数，r = 4/5，|r| < 1：收敛。

答案

B: Σ (k + 5)/k²

答案

B: Σ (k + 5)/k²
4.数列与级数

答案: n = 4

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

n(n + 1)!误差界010.5120.125260.020833240.00260441200.0002604

n 增大时的误差界

n = 3: 0.002604 ≥ 0.001
n = 4: 0.0002604 < 0.001

最小次数

n = 4

答案

n = 4
5.多元微积分

答案: Duf = −39

梯度：∇f = (fx, fy) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 Duf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。

该点处的梯度

fx = 10xy³ − 10x − y → fx(2, −1) = −39
fy = 15x²y² − 12y² − x → fy(2, −1) = 46

单位向量

|v| = √(2² + 0²) = 2
u = (1, 0)

点积

Duf = (−39)·1 + 46·0 = −39

答案

Duf = −39
6.多元微积分

答案: fmin = −2

临界点与二重积分：临界点满足 fx = fy = 0。用 D = fxxfyy − fxy² 做二阶导数检验：D > 0 且 fxx > 0 为局部极小值，D > 0 且 fxx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

临界点

联立求解 fx = 0 和 fy = 0。

fx = (3x² − 3) = 0
fy = (2y) = 0
(1, 0), (−1, 0)

二阶导数检验

(1, 0): fxx = 6, fyy = 2, fxy = 0, D = 12 → 局部极小值
(−1, 0): fxx = −6, fyy = 2, fxy = 0, D = −12 → 鞍点

极值处的值

f(1, 0) = −2

答案

fmin = −2
7.微分方程

答案: T = 17.32 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 29 + (−26)·e−0.08t

代入 t

T(10) = 29 + (−26)·0.4493 = 17.32 °C

答案

T = 17.32 °C
8.微分方程

答案: y(2) = 1.533

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

积分因子

μ = e0.5t
(e0.5ty)′ = 5e−1.5t

通解

y = 5/(−1.5)·e−2t + C·e−0.5t = −3.333·e−2t + C·e−0.5t

初始条件

1 = −3.333 + C → C = 4.333

求值

y(2) = −3.333·0.01832 + 4.333·0.3679 = 1.533

答案

y(2) = 1.533

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