微积分（二）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

积分

幂法则
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分
∫ab f dx = F(b) − F(a)
常用积分
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积
∫ab (f − g) dx

方法

  1. 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
  2. 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
  3. 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
  4. 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

多元微积分

偏导数
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
梯度
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
方向导数
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
链式法则
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
二阶导数检验
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
极坐标
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

  1. 求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
  2. 梯度类题目要在该点计算 ∇f = (fx, fy)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
  3. 求极值时联立求解 fx = 0 和 fy = 0，然后用 D = fxx·fyy − fxy² 对每个点分类。
  4. 对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.积分中等
xy13

计算 I = ∫13 4/x dx。

f(x) = 4/x[1, 3]
I =
2.积分困难
xy1.667y = 5xy = 3x²

将直线 y = 5x 与抛物线 y = 3x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。

y = 5xy = 3x²
V =
3.数列与级数中等
xx₀ = −1??R

幂级数 Σk=1∞ 3ᵏ·(x + 1)ᵏ/(k + 1) 在以 x₀ = −1 为中心的区间上收敛。求该区间的左端点 x。

Σ 3ᵏ·(x + 1)ᵏ/(k + 1)x₀ = −1
x =
4.数列与级数困难

f(x) = cos x 在 x = 1 处用其 n 次麦克劳林多项式近似。利用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 1），求能保证误差小于 0.0001 的最小次数 n。

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 0.0001
n =
5.多元微积分中等

z = 2 ln(x² + 3y²)，其中 x = −2t + 2，y = −t² − 1。用链式法则求 t = 0 时的 dz/dt。

z = 2 ln(x² + 3y²)x = −2t + 2y = −t² − 1t = 0
dz/dt =
6.多元微积分困难
xyx = 1y = 3x13

在由 y = 0、x = 1 和 y = 3x 围成的三角形 T 上计算 I = ∬T (2x + y) dA。

f = 2x + y0 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 3x
I =
7.微分方程中等
tyy(0) = 3y(2) = ?

解 y″ + 4y′ + 4y = 0，其中 y(0) = 3，y′(0) = 0。求 y(2)。

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(2) =
8.微分方程困难
tyy(0) = 10y(1) = ?

解 y″ + 3y′ + 18.25y = 0，其中 y(0) = 10，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(1)；角度以弧度为单位。

y″ + 3y′ + 18.25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(1) =

3溶液

1.积分

答案: I = 4.394

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 4·ln x

代入上下限

I = 4·(ln 3 − ln 1) = 4·ln 3 = 4.394

答案

I = 4.394
2.积分

答案: V = 48.48

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

交点

5x = 3x² → x = 0, x = 1.667

垫圈法

V = π∫₀1.667 ((5x)² − (3x²)²) dx

积分

V = π(25·1.667³/3 − 9·1.667⁵/5) = π·15.43 = 48.48

答案

V = 48.48
3.数列与级数

答案: x = −1.333

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

系数

ck/ck+1 = (1/3)·(k + 2)/(k + 1) → 0.3333

半径

R = 0.3333

区间

−1.333 < x < −0.6667
x = −1.333

答案

x = −1.333

比值判别法对两个端点没有结论；必须单独检验它们。

4.数列与级数

答案: n = 7

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

n(n + 1)!误差界011120.5260.16673240.0416741200.00833357200.001389650400.00019847403202.48 × 10⁻⁵

n 增大时的误差界

n = 6: 0.0001984 ≥ 0.0001
n = 7: 2.48 × 10⁻⁵ < 0.0001

最小次数

n = 7

答案

n = 7
5.多元微积分

答案: dz/dt = −2.286

梯度：∇f = (fx, fy) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 Duf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。

点与变化率

x(0) = 2, y(0) = −1
dx/dt = −2, dy/dt = −2t = 0

偏导数

fx = 4x/(x² + 3y²) = 1.143
fy = 12y/(x² + 3y²) = −1.714

链式法则

dz/dt = 1.143·(−2) + (−1.714)·0 = −2.286

答案

dz/dt = −2.286
6.多元微积分

答案: I = 3.5

临界点与二重积分：临界点满足 fx = fy = 0。用 D = fxxfyy − fxy² 做二阶导数检验：D > 0 且 fxx > 0 为局部极小值，D > 0 且 fxx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

极限

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3x

内层积分

∫03x (2x + y) dy = 2x·3x + (3x)²/2 = 10.5x²

外层积分

I = 10.5·1³/3 = 3.5

答案

I = 3.5
7.微分方程

答案: y(2) = 0.2747

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 2)² = 0 → r = −2

常数

A = y(0) = 3
y′(0) = B − 2A → B = 0 + 6 = 6

求值

y(2) = (3 + 6·2)·e−4 = 0.2747

答案

y(2) = 0.2747
8.微分方程

答案: y(1) = −2.092

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

复根

r = −1.5 ± 4j

常数

A = 10, B = 1.5·10/4 = 3.75

求值

y(1) = e−1.5(10·cos 4 + 3.75·sin 4) = −2.092

答案

y(1) = −2.092

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