微积分（二）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

积分

幂法则
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分
∫ab f dx = F(b) − F(a)
常用积分
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积
∫ab (f − g) dx

方法

  1. 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
  2. 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
  3. 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
  4. 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

多元微积分

偏导数
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
梯度
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
方向导数
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
链式法则
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
二阶导数检验
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
极坐标
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

  1. 求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
  2. 梯度类题目要在该点计算 ∇f = (fx, fy)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
  3. 求极值时联立求解 fx = 0 和 fy = 0，然后用 D = fxx·fyy − fxy² 对每个点分类。
  4. 对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.积分中等
xy01

计算 I = ∫01 2x·(x² + 1)3 dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 1]
I =
2.积分困难
xy−22

求抛物线 y = 4 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 4 − x²
A =
3.数列与级数中等
k|aₖ₊₁/aₖ|123456789101112

对 Σk=1∞ (k!)²·3ᵏ/(2k)! 应用比值判别法。求 L = lim |ak+1/ak|。

ak = (k!)²·3ᵏ/(2k)!
L =
4.数列与级数困难

识别该级数并求它的和：S = Σk=0∞ (−1)ᵏ·22k+1/(2k + 1)!。

ak = (−1)ᵏ·22k+1/(2k + 1)!
S =
5.多元微积分中等
xy32P

z = 5x³y² − 2x³ − 2y² − xy 在 (x, y) = (3, 2) 处的切平面可以写成 z = px + qy + c。求 c。

f(x, y) = 5x³y² − 2x³ − 2y² − xy(a, b) = (3, 2)
c =
6.多元微积分困难
xy−505−2024AB

图中标出的点是 f(x, y) = x³ − 27x + y² − 2y 的临界点。点选鞍点。

f(x, y) = x³ − 27x + y² − 2y
  1. 1A (−3, 1)
  2. 2B (3, 1)
7.微分方程中等
t (min)T (°C)10Ta​T = ?

一个 380 °C 的钢锻件放在 22 °C 的车间里冷却。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.02 min⁻¹，求 10 min 后的温度 T。

T0 = 380 °CTa = 22 °Ck = 0.02 min⁻¹t = 10 min
T = °C
8.微分方程困难
t (min)m (kg)t = ?45 kg

一个水箱装有 400 L 水，其中溶有 10 kg 盐。 每升含盐 0.2 kg 的盐水以 10 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 多少分钟 t 后水箱中含盐 45 kg？

V = 400 Lm0 = 10 kgc = 0.2 kg/Lr = 10 L/min
t = min

3溶液

1.积分

答案: I = 3.75

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u3 du

积分并代入上下限

I = [u4/4]12 = (16 − 1)/4 = 3.75

答案

I = 3.75
2.积分

答案: A = 10.67

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

积分

A = [4x − x³/3]−22 = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答案

A = 10.67
3.数列与级数

答案: L = 0.75

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

相邻项之比

|ak+1/ak| = 3·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 3/4

结论

L = 0.75 < 1

答案

L = 0.75

L < 1，所以级数收敛。

4.数列与级数

答案: S = 0.9093

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

标准级数

Σ (−1)ᵏx2k+1/(2k + 1)! = sin x

代入

x = 2
S = sin 2 = 0.9093

答案

S = 0.9093
5.多元微积分

答案: c = −2038

梯度：∇f = (fx, fy) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 Duf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。

该点处的函数值与斜率

f(3, 2) = 472
fx = 15x²y² − 6x² − y → fx(3, 2) = 484
fy = 10x³y − 4y − x → fy(3, 2) = 529

切平面

z = 472 + 484(x − 3) + 529(y − 2)
z = 484x + 529y − 2038

常数项

c = −2038

答案

c = −2038
6.多元微积分

答案: A (−3, 1)

临界点与二重积分：临界点满足 fx = fy = 0。用 D = fxxfyy − fxy² 做二阶导数检验：D > 0 且 fxx > 0 为局部极小值，D > 0 且 fxx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

临界点

联立求解 fx = 0 和 fy = 0。

fx = (3x² − 27) = 0
fy = (2y − 2) = 0
(3, 1), (−3, 1)

二阶导数检验

(3, 1): fxx = 18, fyy = 2, fxy = 0, D = 36 → 局部极小值
(−3, 1): fxx = −18, fyy = 2, fxy = 0, D = −36 → 鞍点

该点

A (−3, 1): 鞍点

答案

A (−3, 1)
7.微分方程

答案: T = 315.1 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 22 + 358·e−0.02t

代入 t

T(10) = 22 + 358·0.8187 = 315.1 °C

答案

T = 315.1 °C
8.微分方程

答案: t = 27.73 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

结果

m(t) = 80 + (−70)·e−t/40

解出 t

e−t/40 = (80 − 45)/(80 − 10) = 0.5
t = 40·ln(2) = 27.73 min

答案

t = 27.73 min

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