微积分（二）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

多元微积分

偏导数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
梯度: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向导数: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
链式法则: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
二阶导数检验: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
极坐标: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
梯度类题目要在该点计算 ∇f = (f_x, f_y)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
求极值时联立求解 f_x = 0 和 f_y = 0，然后用 D = f_xx·f_yy − f_xy² 对每个点分类。
对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.积分中等

计算 I = ∫₀^π/2 x·sin x dx（x 以弧度为单位）。

∫₀^π/2 x·sin x dx

I =

2.积分困难

将直线 y = 6x 与抛物线 y = 3x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。

y = 6xy = 3x²

V =

3.数列与级数中等

四个级数中恰有一个收敛。点选它。

A: Σ (−1)ᵏ/√kB: Σ k!/2ᵏC: Σ 1/(2k + 6)D: Σ k/(k + 6)

1A: Σ (−1)ᵏ/√k
2B: Σ k!/2ᵏ
3C: Σ 1/(2k + 6)
4D: Σ k/(k + 6)

4.数列与级数困难

f(x) = ln(1 + x) 在 x = 0.3 处用其 2 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 2! = 2）求最大可能误差 |R₂|。

f(x) = ln(1 + x)n = 2x = 0.3M = 2

|R₂| =

5.多元微积分中等

z = −4x²y³ + 5x² − 4y² − 2xy，其中 x = t − 2，y = −2t² + 1。用链式法则求 t = 1 时的 dz/dt。

z = −4x²y³ + 5x² − 4y² − 2xyx = t − 2y = −2t² + 1t = 1

dz/dt =

6.多元微积分困难

求 f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 6y 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极大值处的值 f_max。

f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 6y

f_max =

7.微分方程中等

解 y″ + 8y′ + 16y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 4。求 y(1.5)。

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = 4

y(1.5) =

8.微分方程困难

解 y″ + y′ + 25.25y = 0，其中 y(0) = 10，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(1.5)；角度以弧度为单位。

y″ + y′ + 25.25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(1.5) =

3溶液

1.积分

答案: I = 1

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

原函数

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

极限

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

答案

I = 1

2.积分

答案: V = 120.6

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

交点

6x = 3x² → x = 0, x = 2

垫圈法

V = π∫₀² ((6x)² − (3x²)²) dx

积分

V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38.4 = 120.6

答案

V = 120.6

3.数列与级数

答案: A: Σ (−1)ᵏ/√k

检验每个级数

A: Σ (−1)ᵏ/√k → 交错级数，1/√k 递减趋于 0：收敛（条件收敛）。

B: Σ k!/2ᵏ → 比值判别法：L = lim (k + 1)/2 = ∞，发散。

C: Σ 1/(2k + 6) → k 很大时近似于 1/(2k)；与调和级数比较，它发散。

D: Σ k/(k + 6) → 各项趋于 1，而不是 0：由通项判别法，发散。

答案

A: Σ (−1)ᵏ/√k

答案

A: Σ (−1)ᵏ/√k

4.数列与级数

答案: |R₂| = 0.009

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = 2! = 2

拉格朗日误差界

|R₂| ≤ 2·0.3³/3! = 0.009

答案

|R₂| = 0.009

真实误差更小：|f(0.3) − P₂(0.3)| = 0.007364。

5.多元微积分

答案: dz/dt = −8

梯度：∇f = (f_x, f_y) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 D_uf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

点与变化率

x(1) = −1, y(1) = −1

dx/dt = 1, dy/dt = −4t = −4

偏导数

f_x = −8xy³ + 10x − 2y = −16

f_y = −12x²y² − 8y − 2x = −2

链式法则

dz/dt = (−16)·1 + (−2)·(−4) = −8

答案

dz/dt = −8

6.多元微积分

答案: f_max = 63

临界点与二重积分：临界点满足 f_x = f_y = 0。用 D = f_xxf_yy − f_xy² 做二阶导数检验：D > 0 且 f_xx > 0 为局部极小值，D > 0 且 f_xx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

临界点

联立求解 f_x = 0 和 f_y = 0。

f_x = −(3x² − 27) = 0

f_y = −(2y + 6) = 0

(3, −3), (−3, −3)

二阶导数检验

(3, −3): f_xx = −18, f_yy = −2, f_xy = 0, D = 36 → 局部极大值

(−3, −3): f_xx = 18, f_yy = −2, f_xy = 0, D = −36 → 鞍点

极值处的值

f(3, −3) = 63

答案

f_max = 63

7.微分方程

答案: y(1.5) = 0.04958

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 4)² = 0 → r = −4

常数

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 4A → B = 4 + 8 = 12

求值

y(1.5) = (2 + 12·1.5)·e⁻⁶ = 0.04958

答案

y(1.5) = 0.04958

8.微分方程

答案: y(1.5) = 2.08

复根

r = −0.5 ± 5j

常数

A = 10, B = 0.5·10/5 = 1

求值

y(1.5) = e^−0.75(10·cos 7.5 + 1·sin 7.5) = 2.08

答案

y(1.5) = 2.08

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