微积分（二）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

多元微积分

偏导数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
梯度: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向导数: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
链式法则: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
二阶导数检验: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
极坐标: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
梯度类题目要在该点计算 ∇f = (f_x, f_y)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
求极值时联立求解 f_x = 0 和 f_y = 0，然后用 D = f_xx·f_yy − f_xy² 对每个点分类。
对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.积分中等

计算 I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

2.积分困难

求由 y = 0.5x² 和 y = 3x 围成区域的面积 A。

y = 0.5x²y = 3x

A =

3.数列与级数中等

对 Σ_k=1^∞ k!/kᵏ 应用比值判别法。求 L = lim |a_k+1/a_k|。

a_k = k!/kᵏ

L =

4.数列与级数困难

求 f(x) = √x 在 a = 9 处的泰勒级数中 (x − 9)² 的系数 c₂。

f(x) = √xa = 9k = 2

c₂ =

5.多元微积分中等

z = 3 ln(x² + y²)，其中 x = 2t − 2，y = 2t²。用链式法则求 t = 0 时的 dz/dt。

z = 3 ln(x² + y²)x = 2t − 2y = 2t²t = 0

dz/dt =

6.多元微积分困难

积分 I = ∫₀¹ ∫_x¹ 1/(1 + y²)² dy dx 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 1

I =

7.微分方程中等

一个 340 °C 的钢锻件放在 25 °C 的车间里冷却。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.03 min⁻¹，求 29 min 后的温度 T。

T₀ = 340 °CT_a = 25 °Ck = 0.03 min⁻¹t = 29 min

T = °C

8.微分方程困难

求解 y′ + 3y = 7e^−t，y(0) = 2。求 y(1.5)。

y′ + 3y = 7e^−ty(0) = 2

y(1.5) =

3溶液

1.积分

答案: I = 1.5

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

积分并代入上下限

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1.5

答案

I = 1.5

2.积分

答案: A = 18

交点

0.5x² = 3x → x = 0, x = 6

对上减下积分

A = [1.5x² − 0.1667x³]₀⁶ = 18

答案

A = 18

3.数列与级数

答案: L = 0.3679

相邻项之比

|a_k+1/a_k| = (k/(k + 1))ᵏ = (1 + 1/k)ᵏ → 1/e

结论

L = 0.3679 < 1

答案

L = 0.3679

L < 1，所以级数收敛。

4.数列与级数

答案: c₂ = −0.00463

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数 f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −0.25·x^{1/2 − 2}

系数

c₂ = −0.25·9^{1/2 − 2}/2! = −0.00463

c₂ = −0.00463

答案

c₂ = −0.00463

5.多元微积分

答案: dz/dt = −6

梯度：∇f = (f_x, f_y) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 D_uf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

点与变化率

x(0) = −2, y(0) = 0

dx/dt = 2, dy/dt = 4t = 0

偏导数

f_x = 6x/(x² + y²) = −3

f_y = 6y/(x² + y²) = 0

链式法则

dz/dt = (−3)·2 + 0·0 = −6

答案

dz/dt = −6

6.多元微积分

答案: I = 0.25

临界点与二重积分：临界点满足 f_x = f_y = 0。用 D = f_xxf_yy − f_xy² 做二阶导数检验：D > 0 且 f_xx > 0 为局部极小值，D > 0 且 f_xx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

区域

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1

交换顺序

I = ∫₀¹ ∫₀^y 1/(1 + y²)² dx dy = ∫₀¹ y·1/(1 + y²)² dy

代换 u = y²

I = [−1/(2(1 + y²))]₀¹ = 0.25

答案

I = 0.25

7.微分方程

答案: T = 157 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 25 + 315·e^−0.03t

代入 t

T(29) = 25 + 315·0.419 = 157 °C

答案

T = 157 °C

8.微分方程

答案: y(1.5) = 0.7643

积分因子

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 7e^2t

通解

y = 7/2·e^−t + C·e^−3t = 3.5·e^−t + C·e^−3t

初始条件

2 = 3.5 + C → C = −1.5

求值

y(1.5) = 3.5·0.2231 + (−1.5)·0.01111 = 0.7643

答案

y(1.5) = 0.7643

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