微积分（二）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

积分

幂法则
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分
∫ab f dx = F(b) − F(a)
常用积分
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积
∫ab (f − g) dx

方法

  1. 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
  2. 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
  3. 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
  4. 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

多元微积分

偏导数
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
梯度
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
方向导数
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
链式法则
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
二阶导数检验
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
极坐标
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

  1. 求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
  2. 梯度类题目要在该点计算 ∇f = (fx, fy)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
  3. 求极值时联立求解 fx = 0 和 fy = 0，然后用 D = fxx·fyy − fxy² 对每个点分类。
  4. 对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.积分中等
xy02

计算 I = ∫02 e2x dx。

f(x) = e2x[0, 2]
I =
2.积分困难
xyy = 0.5x2​y = 4x

求由 y = 0.5x2 和 y = 4x 围成区域的面积 A。

y = 0.5x2y = 4x
A =
3.数列与级数中等
AΣ ln k / kk = 1 … ∞BΣ (3k + 1)/(k + 2)k = 1 … ∞CΣ (2/5)ᵏk = 1 … ∞DΣ k!/2ᵏk = 1 … ∞

四个级数中恰有一个收敛。点选它。

A: Σ ln k / kB: Σ (3k + 1)/(k + 2)C: Σ (2/5)ᵏD: Σ k!/2ᵏ
  1. 1A: Σ ln k / k
  2. 2B: Σ (3k + 1)/(k + 2)
  3. 3C: Σ (2/5)ᵏ
  4. 4D: Σ k!/2ᵏ
4.数列与级数困难

识别该级数并求它的和：S = Σk=1∞ k·0.5ᵏ。

ak = k·0.5ᵏ
S =
5.多元微积分中等
xy024024vP

对于 f(x, y) = −4x³y − x³ − 4y³ − 2xy，求在 (2, 1) 处沿 v = (1, 4) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = −4x³y − x³ − 4y³ − 2xyP = (2, 1)v = (1, 4)
Duf =
6.多元微积分困难
xyy = 1.2y = x1.21.2

积分 I = ∫01.2 ∫x1.2 sin(y²) dy dx 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1.2
I =
7.微分方程中等
t (min)T (°C)15Ta​326 °C113 °C

一个 500 °C 的钢锻件放在 21 °C 的车间里冷却。 15 min 后其温度为 326 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 113 °C？

T0 = 500 °CTa = 21 °CT(15) = 326 °CT = 113 °C
t = min
8.微分方程困难
t (min)m (kg)30 minm = ?

一个水箱装有 400 L 纯水。 每升含盐 0.25 kg 的盐水以 20 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 30 min 后水箱中有多少盐 m？

V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0.25 kg/Lr = 20 L/min
m = kg

3溶液

1.积分

答案: I = 26.8

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e2x/2

代入上下限

I = (e4 − 1)/2 = (54.6 − 1)/2 = 26.8

答案

I = 26.8
2.积分

答案: A = 42.67

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

0.5x2 = 4x → x = 0, x = 8

对上减下积分

A = [2x2 − 0.1667x3]08 = 42.67

答案

A = 42.67
3.数列与级数

答案: C: Σ (2/5)ᵏ

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

检验每个级数

A: Σ ln k / k → 当 k ≥ 3 时大于 1/k：与调和级数比较，发散。
B: Σ (3k + 1)/(k + 2) → 各项趋于 3，而不是 0：由通项判别法，发散。
C: Σ (2/5)ᵏ → 等比级数，r = 2/5，|r| < 1：收敛。
D: Σ k!/2ᵏ → 比值判别法：L = lim (k + 1)/2 = ∞，发散。

答案

C: Σ (2/5)ᵏ

答案

C: Σ (2/5)ᵏ
4.数列与级数

答案: S = 2

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

标准级数

Σ k·xᵏ = x/(1 − x)²

代入

x = 0.5
S = 0.5/(1 − 0.5)² = 2

答案

S = 2
5.多元微积分

答案: Duf = −61.6

梯度：∇f = (fx, fy) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 Duf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。

该点处的梯度

fx = −12x²y − 3x² − 2y → fx(2, 1) = −62
fy = −4x³ − 12y² − 2x → fy(2, 1) = −48

单位向量

|v| = √(1² + 4²) = 4.123
u = (0.2425, 0.9701)

点积

Duf = (−62)·0.2425 + (−48)·0.9701 = −61.6

答案

Duf = −61.6
6.多元微积分

答案: I = 0.4348

临界点与二重积分：临界点满足 fx = fy = 0。用 D = fxxfyy − fxy² 做二阶导数检验：D > 0 且 fxx > 0 为局部极小值，D > 0 且 fxx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

区域

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1.2

交换顺序

I = ∫01.2 ∫0y sin(y²) dx dy = ∫01.2 y·sin(y²) dy

代换 u = y²

I = [−cos(y²)/2]01.2 = 0.4348

答案

I = 0.4348
7.微分方程

答案: t = 54.83 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(479/305)/15 = 0.03009 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(479/92)/0.03009 = 54.83 min

答案

t = 54.83 min
8.微分方程

答案: m = 77.69 kg

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

列方程

dm/dt = 20·0.25 − (20/400)·m = 5 − 0.05·m

求解

积分因子为 ert/V；解趋近于平衡值 c·V。

m(t) = 100 + (−100)·e−t/20

代入 t

m(30) = 100 + (−100)·0.2231 = 77.69 kg

答案

m = 77.69 kg

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