微积分（二）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

积分

幂法则
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分
∫ab f dx = F(b) − F(a)
常用积分
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积
∫ab (f − g) dx

方法

  1. 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
  2. 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
  3. 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
  4. 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

多元微积分

偏导数
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
梯度
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
方向导数
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
链式法则
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
二阶导数检验
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
极坐标
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

  1. 求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
  2. 梯度类题目要在该点计算 ∇f = (fx, fy)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
  3. 求极值时联立求解 fx = 0 和 fy = 0，然后用 D = fxx·fyy − fxy² 对每个点分类。
  4. 对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.积分中等
xy01

计算 I = ∫01 2x·(x² + 1)2 dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 1]
I =
2.积分困难
xyy = x2​y = 3x

求由 y = x2 和 y = 3x 围成区域的面积 A。

y = x2y = 3x
A =
3.数列与级数中等
xx₀ = −2??R

求幂级数 Σk=1∞ k·4ᵏ·(x + 2)ᵏ 的收敛半径 R。

Σ k·4ᵏ·(x + 2)ᵏx₀ = −2
R =
4.数列与级数困难

f(x) = cos x 在 x = 0.2 处用其 2 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 1）求最大可能误差 |R₂|。

f(x) = cos xn = 2x = 0.2M = 1
|R₂| =
5.多元微积分中等
xy10.5P

利用 f(x, y) = x³e−y 在 (1, 0.5) 处的切平面来近似 f(0.9, 0.7)。给出线性近似值 L。

f(x, y) = x³e−y(a, b) = (1, 0.5)(x, y) = (0.9, 0.7)
L =
6.多元微积分困难
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

求 f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极小值处的值 fmin。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =
7.微分方程中等
t (min)T (°C)6Ta​56 °C

一杯 83 °C 的咖啡放在 24 °C 的房间里。 6 min 后其温度为 56 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T0 = 83 °CTa = 24 °CT(6) = 56 °C
k = min⁻¹
8.微分方程困难
t (min)m (kg)t = ?23 kg

一个水箱装有 500 L 水，其中溶有 5 kg 盐。 每升含盐 0.1 kg 的盐水以 10 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 多少分钟 t 后水箱中含盐 23 kg？

V = 500 Lm0 = 5 kgc = 0.1 kg/Lr = 10 L/min
t = min

3溶液

1.积分

答案: I = 2.333

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u2 du

积分并代入上下限

I = [u3/3]12 = (8 − 1)/3 = 2.333

答案

I = 2.333
2.积分

答案: A = 4.5

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

x2 = 3x → x = 0, x = 3

对上减下积分

A = [1.5x2 − 0.3333x3]03 = 4.5

答案

A = 4.5
3.数列与级数

答案: R = 0.25

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

系数

ck/ck+1 = (1/4)·(k/(k + 1)) → 1/4

半径

R = 0.25

答案

R = 0.25

比值判别法对两个端点没有结论；必须单独检验它们。

4.数列与级数

答案: |R₂| = 0.001333

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = 1

拉格朗日误差界

|R₂| ≤ 1·0.2³/3! = 0.001333

答案

|R₂| = 0.001333

真实误差更小：|f(0.2) − P₂(0.2)| = 6.658 × 10⁻⁵。

5.多元微积分

答案: L = 0.3033

梯度：∇f = (fx, fy) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 Duf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。

该点处的函数值与斜率

f(1, 0.5) = 0.6065
fx = 3x²e−y → fx(1, 0.5) = 1.82
fy = −x³e−y → fy(1, 0.5) = −0.6065

切平面

z = 0.6065 + 1.82(x − 1) − 0.6065(y − 0.5)
z = 1.82x − 0.6065y − 0.9098

线性近似

L = 0.6065 + 1.82·(−0.1) + (−0.6065)·0.2 = 0.3033

答案

L = 0.3033

精确值为 f = 0.362011；因为步长很小，平面与曲面很接近。

6.多元微积分

答案: fmin = −2

临界点与二重积分：临界点满足 fx = fy = 0。用 D = fxxfyy − fxy² 做二阶导数检验：D > 0 且 fxx > 0 为局部极小值，D > 0 且 fxx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

临界点

联立求解 fx = 0 和 fy = 0。

fx = 4x³ − 4y = 0
fy = 4y³ − 4x = 0
(0, 0), (1, 1), (−1, −1)

二阶导数检验

(0, 0): fxx = 0, fyy = 0, fxy = −4, D = −16 → 鞍点
(1, 1): fxx = 12, fyy = 12, fxy = −4, D = 128 → 局部极小值
(−1, −1): fxx = 12, fyy = 12, fxy = −4, D = 128 → 局部极小值

极值处的值

f(1, 1) = −2

答案

fmin = −2
7.微分方程

答案: k = 0.102 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e−6k = 32/59

解出 k

k = ln(59/32)/6 = 0.102 min⁻¹

答案

k = 0.102 min⁻¹
8.微分方程

答案: t = 25.54 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

结果

m(t) = 50 + (−45)·e−t/50

解出 t

e−t/50 = (50 − 23)/(50 − 5) = 0.6
t = 50·ln(1.667) = 25.54 min

答案

t = 25.54 min

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