微积分（二）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

多元微积分

偏导数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
梯度: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向导数: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
链式法则: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
二阶导数检验: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
极坐标: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
梯度类题目要在该点计算 ∇f = (f_x, f_y)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
求极值时联立求解 f_x = 0 和 f_y = 0，然后用 D = f_xx·f_yy − f_xy² 对每个点分类。
对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.积分中等

计算 I = ∫₂⁴ 5/x dx。

f(x) = 5/x[2, 4]

I =

2.积分困难

计算 I = ∫₀³ x²·eˣ dx。

∫₀³ x²eˣ dx

I =

3.数列与级数中等

幂级数 Σ_k=1^∞ (x + 2)ᵏ/(k·3ᵏ) 在以 x₀ = −2 为中心的区间上收敛。求该区间的左端点 x。

Σ (x + 2)ᵏ/(k·3ᵏ)x₀ = −2

x =

4.数列与级数困难

用 f(x) = ln(1 + x) 的 3 次麦克劳林多项式近似 f(0.5)。给出 P₃(0.5)。

f(x) = ln(1 + x)n = 3x = 0.5

P₃(0.5) =

5.多元微积分中等

对于 f(x, y) = 4x²y + 4y² − xy，求在 (1, 1) 处沿 v = (0, −4) 方向的方向导数 D_uf。

f(x, y) = 4x²y + 4y² − xyP = (1, 1)v = (0, −4)

D_uf =

6.多元微积分困难

求 f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极小值处的值 f_min。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy

f_min =

7.微分方程中等

一个 420 °C 的钢锻件放在 21 °C 的车间里冷却。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.02 min⁻¹，求 44 min 后的温度 T。

T₀ = 420 °CT_a = 21 °Ck = 0.02 min⁻¹t = 44 min

T = °C

8.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 4.25y = 42.5，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + y′ + 4.25y = 42.5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3溶液

1.积分

答案: I = 3.466

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 5·ln x

代入上下限

I = 5·(ln 4 − ln 2) = 5·ln 2 = 3.466

答案

I = 3.466

2.积分

答案: I = 98.43

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

20.09·(5) − 1·2 = 98.43

答案

I = 98.43

3.数列与级数

答案: x = −5

系数

c_k/c_k+1 = 3·((k + 1)/k) → 3

半径

R = 3

区间

−5 < x < 1

x = −5

答案

x = −5

比值判别法对两个端点没有结论；必须单独检验它们。

4.数列与级数

答案: P₃(0.5) = 0.4167

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

麦克劳林多项式

P₃(x) = x − 0.5x² + 0.3333x³

代入

P₃(0.5) = 0.5 − 0.125 + 0.0416667 = 0.4167

答案

P₃(0.5) = 0.4167

精确值为 f(0.5) = 0.405465；取更多项或取更靠近 0 的点时，误差 −0.0112016 会变小。

5.多元微积分

答案: D_uf = −11

梯度：∇f = (f_x, f_y) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 D_uf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

该点处的梯度

f_x = 8xy − y → f_x(1, 1) = 7

f_y = 4x² + 8y − x → f_y(1, 1) = 11

单位向量

|v| = √(0² + (−4)²) = 4

u = (0, −1)

点积

D_uf = 7·0 + 11·(−1) = −11

答案

D_uf = −11

6.多元微积分

答案: f_min = −32

临界点与二重积分：临界点满足 f_x = f_y = 0。用 D = f_xxf_yy − f_xy² 做二阶导数检验：D > 0 且 f_xx > 0 为局部极小值，D > 0 且 f_xx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

临界点

联立求解 f_x = 0 和 f_y = 0。

f_x = 4x³ − 16y = 0

f_y = 4y³ − 16x = 0

(0, 0), (2, 2), (−2, −2)

二阶导数检验

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −16, D = −256 → 鞍点

(2, 2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → 局部极小值

(−2, −2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → 局部极小值

极值处的值

f(2, 2) = −32

答案

f_min = −32

7.微分方程

答案: T = 186.5 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 21 + 399·e^−0.02t

代入 t

T(44) = 21 + 399·0.4148 = 186.5 °C

答案

T = 186.5 °C

8.微分方程

答案: y_max = 14.56

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

y_ss = 10, r = −0.5 ± 2j

由初值求常数

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −0.5A + 2B = 0 → B = −2.5

峰值

t = π/2 = 1.571

y_max = 10·(1 + e^−0.5·π/2) = 14.56

答案

y_max = 14.56

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