CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 6% 投资 €5 000，按季度复利。求 10 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0006% / 4n = 10

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €300 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 6%，按月复利。在第 16 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €300 0006% / 12N = 360k = 192

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €50 000，使用 8 年，每年运行费用为 €5 000（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €50 000M = €5 000n = 8r = 5%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €21 500, €19 500, €29 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 21 500CF₂ = 19 500CF₃ = 29 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 5 年后到期，每年付息。到期收益率为 8% 时其售价为 €920。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 5P = €920YTM = 8%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 4 年后到期，售价为 €1 040。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 4P = €1 040

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.4。其股权资本成本为 11%，税前债务成本为 5%，税率为 25%。求 WACC。

D/E = 0.4r_e = 11%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €28.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 2%r_m = 8%r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：58, 31, 51, 60, 27。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 10。数值高于 104 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 10x = 104

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.35, 0.1, 0.35

Var(X) =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.3 赢得 €2，以概率 0.01 赢得 €10；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €1€2: p = 0.3€10: p = 0.01

E(G) = €

13.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 78.25 和 127 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 78.25x₂ = 127

P =

14.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

15.置信区间中等

一个包含 15 个个体的样本，均值为 17.5，标准差 s = 15。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 15x̄ = 17.5s = 1599%t(14) = 2.977

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 22。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 4？

σ = 22E = 495%

n =

17.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 122，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 122s = 10n = 36

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.10 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 15。实际上均值为 503.75。求第二类错误的概率 β，以百分比表示。

μ₀ = 500μ = 503.75σ = 15n = 100α = 0.10

β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 44？

n = 5ŷ = 44

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 9070 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.06/4 = 0.015

N = m·n = 4·10 = 40

终值

FV = 5 000·(1 + 0.015)⁴⁰ = 5 000·1.814 = €9 070.09

答案

FV = €9 070.09

2.货币的时间价值

答案: B = 204106 €

月供

i = 0.005, N = 360

A = 300 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)⁻³⁶⁰) = €1 798.65

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 192 = 168

B = 1799·(1 − (1 + 0.005)⁻¹⁶⁸)/0.005 = €204 105.57

答案

B = €204 105.57

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 12736 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.05⁻⁸)/0.05 = 6.463

年化购置价格

50 000/6.463 = 7 736.09

EAC

EAC = 7 736.09 + 5 000 = €12 736.09

答案

EAC = €12 736.09

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 17.85 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 2 508.42

NPV(20%) = −1 759.26

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·2 508.42/(2 508.42 − (−1 759.26)) = 17.94%

精确: NPV(17.85%) = 0 → IRR = 17.85%

答案

IRR = 17.85%

5.债券定价与收益率

答案: c = 5.996 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.08)⁻⁵ = €680.58

票息

C = (920 − 680.58)/3.993 = €59.96

票面利率

c = 59.96/1000 = 5.996%

答案

c = 5.996%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 1.951 %

收益率方程

€1 040 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(1%) = €1 078.04, P(2%) = €1 038.08

YTM = 1.951%

答案

YTM = 1.951%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.929 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.4) = 0.7143

D/V = 0.4/(1 + 0.4) = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·11% + 0.2857·5%·(1 − 0.25) = 8.929%

答案

WACC = 8.929%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.75 %

市场价值

E = 5 000 000·€28.50 = €142 500 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.5·6% = 11%

权重

V = €147 500 000, E/V = 0.9661, D/V = 0.0339

WACC

WACC = 0.9661·11% + 0.0339·5%·(1 − 0.258) = 10.75%

答案

WACC = 10.75%

9.描述统计

答案: s = 15.4

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 227/5 = 45.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = 12.6² + (−14.4)² + 5.6² + 14.6² + (−18.4)² = 949.2

标准差

s = √(949.2/4) = 15.4

答案

s = 15.4

10.描述统计

答案: P = 0.3446

标准化

z = 0.4

标准正态分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 1 − 0.6554 = 0.3446

答案

P = 0.3446

11.概率

答案: Var(X) = 1.34

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.2 + 1·0.35 + 2·0.1 + 3·0.35 = 1.6

平方的均值

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.35 + 4·0.1 + 9·0.35 = 3.9

方差

Var(X) = 3.9 − 1.6² = 1.34

答案

Var(X) = 1.34

12.概率

答案: E(G) = −0.3 €

净结果

G: 1 (p = 0.3), 9 (p = 0.01), −1 (p = 0.69)

期望值

E(G) = 1·0.3 + 9·0.01 − 1·0.69 = −0.3 €

答案

E(G) = −0.3 €

负值表示平均而言你会亏钱。

13.正态分布

答案: P = 0.8905

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (78.25 − 100)/15 = −1.45

z₂ = (127 − 100)/15 = 1.8

中间面积

P = Φ(1.8) − Φ(−1.45) = 0.9641 − 0.07353 = 0.8905

答案

P = 0.8905

14.正态分布

答案: x = 37.05 min

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 32 + 0.8416·6 = 37.05 min

答案

x = 37.05 min

15.置信区间

答案: E = 11.53

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 14, t = 2.977

误差范围

E = 2.977·15/√15 = 11.53

答案

E = 11.53

16.置信区间

答案: n = 117

解出 n

n = (1.96·22/4)² = 116.2

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 117

答案

n = 117

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.2

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667

检验统计量

t = (122 − 120)/1.667 = 1.2

答案

t = 1.2

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: β = 11.16 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 15/√100 = 1.5

x̄_c = 500 + 1.282·1.5 = 501.9

真实均值下的 z

z = (501.9 − 503.75)/1.5 = −1.218

第二类错误

功效 = P(Z > −1.218) = 88.84%

β = 100% − 88.84% = 11.16%

答案

β = 11.16%

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.8273

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 349/6 = 58.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 516.8

决定系数

r² = 86.5²/(17.5·516.8) = 0.8273

答案

r² = 0.8273

y 的变异中约有 82.73% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: x = 2.096

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 273/5 = 54.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146

回归直线

b = 146/40 = 3.65

a = 54.6 − 3.65·5 = 36.35

ŷ = 36.35 + 3.65·x

解出 x

x = (44 − 36.35)/3.65 = 2.096

答案

x = 2.096

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