CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 7 年后需要 €20 000。某账户年利率 2%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €20 0002% / 12n = 7

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €15 000 的贷款在 4 年内按月等额偿还，年利率 3.6%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €15 0003.6% / 12N = 48

I = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€15 000, €13 000, €22 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 15 000CF₂ = 13 000CF₃ = 22 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €7 000, €6 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 6 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 11 年的债券（面值 €1 000，年票息 3%）到期收益率为 6% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 7% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 11y₀ = 6%y₁ = 7%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，5 年后到期。到期收益率为 7%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 5YTM = 7%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 5%，税率为 20%。求 WACC。

E = €6 000 000D = €6 000 000r_e = 14%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €53.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 1.5%r_m = 6.5%r_d = 4.5%T = 21%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：13, 29, 28, 45, 60, 46, 56。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 8。数值高于 52 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 8x = 52

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.15, 0.1, 0.35, 0.3

Var(X) =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 3X + 4。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.35, 0.15, 0.15Y = 3X + 4

σ_Y =

13.正态分布中等

X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 95.4 s 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 95.4 s

P =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

15.置信区间中等

基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 10.3。基于 400 个观测值的 99% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

90%n₁ = 100E₁ = 10.399%n₂ = 400

E₂ =

16.置信区间困难

总体标准差为 18。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 18E = 0.599%

n =

17.假设检验与置信区间中等

49 名学生的样本平均分为 99.36，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。

μ₀ = 100x̄ = 99.36s = 5n = 49

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.10 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 16。实际上均值为 504。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 500μ = 504σ = 16n = 64α = 0.10

1 − β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 21Σy = 119Σx² = 91Σy² = 2433Σxy = 383

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (9, 27)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(9, 27)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 17389 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/12 = 0.001667

N = 12·7 = 84

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.15 = €17 389.19

答案

PV = €17 389.19

2.货币的时间价值

答案: I = 1128 €

月供

i = 0.003, N = 48

A = 15 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)⁻⁴⁸) = €336.01

利息总额

I = N·A − P = 48·336 − 15 000 = €1 128.36

答案

I = €1 128.36

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −16668 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 15 000/1.07 = 14 018.69

CF₂/(1 + 0.07)² = 13 000/1.145 = 11 354.70

CF₃/(1 + 0.07)³ = 22 000/1.225 = 17 958.55

相加

NPV = €−16 668.05

答案

NPV = €−16 668.05

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 22.89 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 347.22

NPV(25%) = −240.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·347.22/(347.22 − (−240.00)) = 22.96%

精确: NPV(22.89%) = 0 → IRR = 22.89%

答案

IRR = 22.89%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = −1.878 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €30.00, i = 0.06, N = 11

€30.00·(1 − 0.5268)/0.06 + €1 000·0.5268 = €236.61 + €526.79 = €763.39

卖出价

C = €30.00, i = 0.07, N = 10

€30.00·(1 − 0.5083)/0.07 + €1 000·0.5083 = €210.71 + €508.35 = €719.06

持有期收益率

HPR = (30 + 719.06 − 763.39)/763.39 = −1.878%

答案

HPR = −1.878%

6.债券定价与收益率

答案: D = 4.686 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 30/1.07 = 28.04, t·PV = 28.04

t = 2: 30/1.145 = 26.20, t·PV = 52.41

t = 3: 30/1.225 = 24.49, t·PV = 73.47

t = 4: 30/1.311 = 22.89, t·PV = 91.55

t = 5: 1030/1.403 = 734.38, t·PV = 3 671.88

久期

P = 835.99

D = 3 917.34/835.99 = 4.686

答案

D = 4.686 年

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €12 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·14% + 0.5·5%·(1 − 0.2) = 9%

答案

WACC = 9%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.627 %

市场价值

E = 1 000 000·€53.50 = €53 500 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.3·5% = 8%

权重

V = €58 400 000, E/V = 0.9161, D/V = 0.0839

WACC

WACC = 0.9161·8% + 0.0839·4.5%·(1 − 0.21) = 7.627%

答案

WACC = 7.627%

9.描述统计

答案: s = 16.88

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 277/7 = 39.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−26.57)² + (−10.57)² + (−11.57)² + 5.429² + 20.43² + 6.429² + 16.43² = 1710

标准差

s = √(1710/6) = 16.88

答案

s = 16.88

10.描述统计

答案: P = 0.8413

标准化

z = −1

标准正态分布表

Φ(−1) = 0.1587

P = 1 − 0.1587 = 0.8413

答案

P = 0.8413

11.概率

答案: Var(X) = 1.74

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.1 + 1·0.15 + 2·0.1 + 3·0.35 + 4·0.3 = 2.6

平方的均值

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.15 + 4·0.1 + 9·0.35 + 16·0.3 = 8.5

方差

Var(X) = 8.5 − 2.6² = 1.74

答案

Var(X) = 1.74

12.概率

答案: σ_Y = 6.264

X 的离散程度

μ = 2.2, Var(X) = 4.36, σ_X = 2.088

线性变换

σ_Y = |3|·2.088 = 6.264

答案

σ_Y = 6.264

均值确实会改变：E(Y) = 3·2.2 + 4 = 10.6。

13.正态分布

答案: P = 0.9332

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

标准化

z = (95.4 − 105)/6.403 = −1.5

上尾

P = 1 − Φ(−1.5) = 1 − 0.06681 = 0.9332

答案

P = 0.9332

14.正态分布

答案: x = 533.7 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 500 + 0.8416·40 = 533.66 h

答案

x = 533.66 h

15.置信区间

答案: E₂ = 8.065

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(100/400) = 0.783

新的误差范围

E₂ = 10.3·0.783 = 8.065

答案

E₂ = 8.065

16.置信区间

答案: n = 8600

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (2.576·18/0.5)² = 8600

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 8600

答案

n = 8600

17.假设检验与置信区间

答案: t = −0.896

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 5/√49 = 5/7 = 0.7143

检验统计量

t = (99.36 − 100)/0.7143 = −0.896

答案

t = −0.896

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 76.36 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 16/√64 = 2

x̄_c = 500 + 1.282·2 = 502.6

真实均值下的 z

z = (502.6 − 504)/2 = −0.718

功率

功效 = P(Z > −0.718) = 76.36%

1 − β = 76.36%

答案

1 − β = 76.36%

19.线性回归与相关

答案: r = −0.9383

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 383 − 21·119/6 = −33.5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 2433 − 119²/6 = 72.83

答案

r = −0.9383

20.线性回归与相关

答案: e = 1.9

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 123/6 = 20.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 161

回归直线

b = 161/70 = 2.3

a = 20.5 − 2.3·7 = 4.4

ŷ = 4.4 + 2.3·x

预测值

ŷ = 4.4 + 2.3·9 = 25.1

残差

e = 27 − 25.1 = 1.9

答案

e = 1.9

该点位于直线上方。

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