CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 16%，每天复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 16%m = 365

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你希望在 11 年后得到 €30 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 3.6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €30 0003.6% / 12N = 132

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€35 000, €33 000, €26 000, €17 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 35 000CF₂ = 33 000CF₃ = 26 000CF₄ = 17 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €23 000, €20 500, €27 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 23 000CF₂ = 20 500CF₃ = 27 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 3.5%n = 7

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 17 年的债券（面值 €1 000，年票息 7%）售价 €1 163。发行人可在 3 年后以 €1 070 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%P = €1 163赎回价格 = €1 070赎回时间 3 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 4.5%，税率为 28%。求 WACC。

E = €6 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 4.5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €8.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 4%，市场回报率为 10%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 4%r_m = 10%r_d = 4.5%T = 20%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：28, 35, 20, 59, 16, 54。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 50。数值高于 600 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 50x = 600

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 8

P =

12.概率困难

测试 6 个元件，每个独立地以概率 0.25 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.25

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.5035。求 z，保留两位小数。

A = 0.5035

z =

14.正态分布困难

一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.置信区间中等

基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 3.4。用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

99%n₁ = 36E₁ = 3.495%

E₂ =

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：8 块地，平均产量 84.5 kg，标准差 4 kg。地块组 2：8 块地，均值 94 kg，标准差 4.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。

n₁ = 8x̄₁ = 84.5s₁ = 4n₂ = 8x̄₂ = 94s₂ = 4.595%t(14) = 2.145

下限 = kg

17.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：100 个零件的样本平均长度为 41 mm，该生产线的已知标准差为 3 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 43.4 mm，已知标准差为 8 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 100x̄₁ = 41 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 100x̄₂ = 43.4 mmσ₂ = 8 mm

z =

18.假设检验与置信区间困难

64 次测量的样本均值为 99.2。总体标准差为 4。求均值 99% 置信区间的上限 U。

x̄ = 99.2σ = 4n = 6499%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 25 时的 ŷ。

n = 5x = 25

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 17.35 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.16/365 = 0.0004384

复利一年

EAR = (1 + 0.0004384)³⁶⁵ − 1 = 1.173 − 1 = 17.35%

答案

EAR = 17.35%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: A = 185.6 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·11 = 132

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0.003/(1.485 − 1) = €185.57

答案

A = €185.57

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 17006 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 35 000/1.09 = 32 110.09

CF₂/(1 + 0.09)² = 33 000/1.188 = 27 775.44

CF₃/(1 + 0.09)³ = 26 000/1.295 = 20 076.77

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 17 000/1.412 = 12 043.23

相加

NPV = €17 005.53

答案

NPV = €17 005.53

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 18.79 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 3 253.88

NPV(20%) = −972.22

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·3 253.88/(3 253.88 − (−972.22)) = 18.85%

精确: NPV(18.79%) = 0 → IRR = 18.79%

答案

IRR = 18.79%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1154 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.0175, N = 14

票息的现值

€30.00·(1 − 0.7844)/0.0175 = €369.66

面值的现值

€1 000·0.7844 = €784.36

价格

P = €1 154.03

答案

P = €1 154.03

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 3.443 %

收益率方程

1163 = 70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1070/(1 + y)³

数值求解

y = 3%: €1 177.20

y = 4%: €1 145.48

YTC = 3.443%

答案

YTC = 3.443%

到期收益率为 5.5%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.81 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·8% + 0.25·4.5%·(1 − 0.28) = 6.81%

答案

WACC = 6.81%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.233 %

市场价值

E = 2 500 000·€8.50 = €21 250 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.8·6% = 14.8%

权重

V = €42 250 000, E/V = 0.503, D/V = 0.497

WACC

WACC = 0.503·14.8% + 0.497·4.5%·(1 − 0.2) = 9.233%

答案

WACC = 9.233%

9.描述统计

答案: s = 17.73

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 212/6 = 35.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−7.333)² + (−0.3333)² + (−15.33)² + 23.67² + (−19.33)² + 18.67² = 1571

标准差

s = √(1571/5) = 17.73

答案

s = 17.73

10.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = 2

标准正态分布表

Φ(2) = 0.9772

P = 1 − 0.9772 = 0.02275

答案

P = 0.02275

11.概率

答案: P = 0.7674

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

答案

P = 0.7674

12.概率

答案: P = 0.5339

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.75⁶ = 0.178

P(X = 1) = 6·0.25·0.75⁵ = 0.356

相加

P = 0.178 + 0.356 = 0.5339

答案

P = 0.5339

13.正态分布

答案: z = 0.68

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.5035)/2 = 0.7517

反向查 z 表

在表中找到 0.7517，读出 z。

z = 0.68

答案

z = 0.68

14.正态分布

答案: P = 0.7389

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

标准化

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

概率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答案

P = 0.7389

15.置信区间

答案: E₂ = 2.587

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(36/36) = 0.7609

新的误差范围

E₂ = 3.4·0.7609 = 2.587

答案

E₂ = 2.587

16.置信区间

答案: 下限 = −14.07 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (7·4² + 7·4.5²)/14 = 18.13

s_p = 4.257

误差范围

E = 2.145·4.257·√(1/8 + 1/8) = 4.566

区间

−9.5 ± 4.566 → [−14.07, −4.934]

答案

下限 = −14.07 kg

17.假设检验与置信区间

答案: z = −2.809

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(3²/100 + 8²/100) = √0.73 = 0.8544

检验统计量

z = (41 − 43.4)/0.8544 = −2.809

答案

z = −2.809

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 100.5

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 2.576·4/√64 = 1.288

区间端点

U = 99.2 + 1.288 = 100.5

答案

U = 100.5

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9948

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 409/6 = 68.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 93.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 504.8

答案

r = 0.9948

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 125

均值

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 549/5 = 109.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 202

回归直线

b = 202/40 = 5.05

a = 109.8 − 5.05·22 = −1.3

ŷ = −1.3 + 5.05·x

预测

ŷ = −1.3 + 5.05·25 = 125

答案

ŷ = 125

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