CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €2 000 的净租金。租金预计每年永久增长 1.5%。要求回报率为每年 6.5%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €2 000g = 1.5%r = 6.5%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 21 年内每月月末存入 €200。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2003% / 12N = 252

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €100 000。它在 8 年内每年年末产生 €16 500，之后可以以 €15 000 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF = €16 500S = €15 000n = 8r = 12%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €100 000。其现金流在第 1 年年末为 €10 000，之后每年增长 4%，直到第 9 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €10 000g = 4%n = 9r = 8%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 11 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）到期收益率为 9% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 8.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 11y₀ = 9%y₁ = 8.5%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 3 年后到期，售价为 €1 060。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 3P = €1 060

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €3 000 000，债务价值为 €4 000 000。其 WACC 为 6.57%，税前债务成本为 6%，税率为 21%。求股权资本成本 r_e。

E = €3 000 000D = €4 000 000WACC = 6.57%r_d = 6%T = 21%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €11.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 28%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 2%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 2%r_m = 8.5%r_d = 4.5%T = 28%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：21, 54, 30, 53, 31, 19, 12。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 12。求成绩 118 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 12x = 118

z =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 8

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.25 赢得 €6，以概率 0.05 赢得 €150；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €3€6: p = 0.25€150: p = 0.05

E(G) = €

13.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 92.5 和 108.25 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 92.5x₂ = 108.25

P =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

15.置信区间中等

一个包含 13 个个体的样本，均值为 88，标准差 s = 1.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 13x̄ = 88s = 1.599%t(12) = 3.055

下限 =

16.置信区间困难

16 根机加工轴的直径样本标准差为 2.2 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 15 时，χ² 分布有 2.5% 位于 6.262 以下，2.5% 位于 27.488 以上。

n = 16s = 2.2 µmχ² = 6.262, 27.488

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 500；已知总体标准差为 18。一个含 36 个观测值的随机样本均值为 494.12。检验 H₀: μ = 500 对 H₁: μ ≠ 500。求 p 值 p。

μ₀ = 500σ = 18n = 36x̄ = 494.12H₁: μ ≠ μ₀

p =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？标准差为 15。求最小样本量 n。

σ = 15E = 399%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (3, 10)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(3, 10)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 40000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0.065 − 0.015) = 2 000/0.05 = €40 000.00

答案

PV = €40 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 70091 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·21 = 252

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1.876 − 1)/0.0025 = €70 090.80

答案

FV = €70 090.80

你自己存入了 €50 400；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −11976 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

16 500·4.968 = 81 966.06

残值的现值

15 000/2.476 = 6 058.25

NPV

NPV = −100 000 + 81 966.06 + 6 058.25 = −€11 975.70

答案

NPV = −€11 975.70

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −28003 €

增长型年金的现值

((1.04)/(1.08))⁹ = 0.712

PV = 10 000/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.712) = 71 997.43

NPV

NPV = 71 997.43 − 100 000 = −€28 002.57

答案

NPV = −€28 002.57

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 12.72 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €50.00, i = 0.09, N = 11

€50.00·(1 − 0.3875)/0.09 + €1 000·0.3875 = €340.26 + €387.53 = €727.79

卖出价

C = €50.00, i = 0.085, N = 10

€50.00·(1 − 0.4423)/0.085 + €1 000·0.4423 = €328.07 + €442.29 = €770.35

持有期收益率

HPR = (50 + 770.35 − 727.79)/727.79 = 12.72%

答案

HPR = 12.72%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 1.923 %

收益率方程

€1 060 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(1%) = €1 088.23, P(2%) = €1 057.68

YTM = 1.923%

答案

YTM = 1.923%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.01 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.4286, D/V = 0.5714

WACC 中的债务部分

0.5714·6%·(1 − 0.21) = 2.709%

股权成本

r_e = (6.57% − 2.709%)/0.4286 = 9.01%

答案

r_e = 9.01%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.981 %

市场价值

E = 2 500 000·€11.50 = €28 750 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 0.9·6.5% = 7.85%

权重

V = €48 350 000, E/V = 0.5946, D/V = 0.4054

WACC

WACC = 0.5946·7.85% + 0.4054·4.5%·(1 − 0.28) = 5.981%

答案

WACC = 5.981%

9.描述统计

答案: s = 16.42

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 220/7 = 31.43

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−10.43)² + 22.57² + (−1.429)² + 21.57² + (−0.4286)² + (−12.43)² + (−19.43)² = 1618

标准差

s = √(1618/6) = 16.42

答案

s = 16.42

10.描述统计

答案: z = 1.5

标准化

z = (118 − 100)/12 = 1.5

答案

z = 1.5

11.概率

答案: P = 0.7674

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

答案

P = 0.7674

12.概率

答案: E(G) = 6 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 3 (p = 0.25), 147 (p = 0.05), −3 (p = 0.7)

期望值

E(G) = 3·0.25 + 147·0.05 − 3·0.7 = 6 €

答案

E(G) = 6 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: P = 0.4003

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (92.5 − 100)/15 = −0.5

z₂ = (108.25 − 100)/15 = 0.55

中间面积

P = Φ(0.55) − Φ(−0.5) = 0.7088 − 0.3085 = 0.4003

答案

P = 0.4003

14.正态分布

答案: x = 466.3 h

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h

答案

x = 466.34 h

15.置信区间

答案: 下限 = 86.73

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 12, t = 3.055

误差范围

E = 3.055·1.5/√13 = 1.271

区间

88 ± 1.271 → [86.73, 89.27]

答案

下限 = 86.73

16.置信区间

答案: σ = 3.405 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 15·2.2² = 72.6

σ² 的限值

72.6/27.488 = 2.641

72.6/6.262 = 11.59

σ 的限值

σ = √11.59 = 3.405 µm

答案

σ = 3.405 µm

σ 的 95% 区间：[1.625, 3.405] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: p = 0.05

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 18/√36 = 3

z = (494.12 − 500)/3 = −1.96

尾部面积

Φ(1.96) = 0.9750

1 − Φ(1.96) = 0.0250

p 值

p = 2·0.0250 = 0.05

答案

p = 0.05

p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 166

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (2.576·15/3)² = 165.9

向上取整

n = 166

答案

n = 166

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9412

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 83/5 = 16.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 61.2

决定系数

r² = −24²/(10·61.2) = 0.9412

答案

r² = 0.9412

y 的变异中约有 94.12% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: e = −2.5

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 124/5 = 24.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164

回归直线

b = 164/40 = 4.1

a = 24.8 − 4.1·6 = 0.2

ŷ = 0.2 + 4.1·x

预测值

ŷ = 0.2 + 4.1·3 = 12.5

残差

e = 10 − 12.5 = −2.5

答案

e = −2.5

该点位于直线下方。

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