CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €6 000 的净租金。租金预计每年永久增长 1.5%。要求回报率为每年 7.5%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €6 000g = 1.5%r = 7.5%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 8 年内每月月末存入 €100。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1004.2% / 12N = 96

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €100 000。它在 3 年内每年年末产生 €39 500，之后可以以 €15 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF = €39 500S = €15 000n = 3r = 8%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €18 500, €26 000, €30 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 18 500CF₂ = 26 000CF₃ = 30 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 9 年后到期，每年付息。到期收益率为 7% 时其售价为 €837。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 9P = €837YTM = 7%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 6 年后到期，售价为 €1 105。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 6P = €1 105

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.6。其股权资本成本为 10%，税前债务成本为 4.5%，税率为 21%。求 WACC。

D/E = 0.6r_e = 10%r_d = 4.5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €20.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 2.5%r_m = 9.5%r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：35, 28, 18, 30, 47, 24。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。数值低于 55 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 5x = 55

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 4 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 4

P =

12.概率困难

一份测试有 7 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.3k = 3

P =

13.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 6 个的总质量超过 245.9 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 6> 245.9 g

P =

14.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 90% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分90%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 12 个个体的样本，均值为 14，标准差 s = 10。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 12x̄ = 14s = 1095%t(11) = 2.201

下限 =

16.置信区间困难

25 根机加工轴的直径样本标准差为 6.4 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。

n = 25s = 6.4 µmχ² = 12.401, 39.364

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：13 名学生，平均分 108，标准差 6。第 2 组：8 名学生，平均分 100.3，标准差 4。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 13x̄₁ = 108s₁ = 6n₂ = 8x̄₂ = 100.3s₂ = 4

t =

18.假设检验与置信区间困难

100 次测量的样本均值为 122.8。总体标准差为 12。求均值 99% 置信区间的上限 U。

x̄ = 122.8σ = 12n = 10099%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 96Σx² = 220Σy² = 2322Σxy = 714

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 25.5 时的 ŷ。

n = 5x = 25.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 100000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0.075 − 0.015) = 6 000/0.06 = €100 000.00

答案

PV = €100 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 11386 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·8 = 96

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1.399 − 1)/0.0035 = €11 386.24

答案

FV = €11 386.24

你自己存入了 €9 600；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 13703 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

39 500·2.577 = 101 795.33

残值的现值

15 000/1.26 = 11 907.48

NPV

NPV = −100 000 + 101 795.33 + 11 907.48 = €13 702.81

答案

NPV = €13 702.81

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 35.28 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 163.08

NPV(40%) = −2 587.46

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·163.08/(163.08 − (−2 587.46)) = 35.3%

精确: NPV(35.28%) = 0 → IRR = 35.28%

答案

IRR = 35.28%

5.债券定价与收益率

答案: c = 4.498 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.07)⁻⁹ = €543.93

票息

C = (837 − 543.93)/6.515 = €44.98

票面利率

c = 44.98/1000 = 4.498%

答案

c = 4.498%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.997 %

收益率方程

€1 105 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(3%) = €1 162.52, P(4%) = €1 104.84

YTM = 3.997%

答案

YTM = 3.997%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.583 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.6) = 0.625

D/V = 0.6/(1 + 0.6) = 0.375

WACC

WACC = 0.625·10% + 0.375·4.5%·(1 − 0.21) = 7.583%

答案

WACC = 7.583%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.11 %

市场价值

E = 5 000 000·€20.00 = €100 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.2·7% = 10.9%

权重

V = €110 000 000, E/V = 0.9091, D/V = 0.09091

WACC

WACC = 0.9091·10.9% + 0.09091·3%·(1 − 0.258) = 10.11%

答案

WACC = 10.11%

9.描述统计

答案: s = 9.973

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 182/6 = 30.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = 4.667² + (−2.333)² + (−12.33)² + (−0.3333)² + 16.67² + (−6.333)² = 497.3

标准差

s = √(497.3/5) = 9.973

答案

s = 9.973

10.描述统计

答案: P = 0.8413

标准化

z = 1

标准正态分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

答案

P = 0.8413

11.概率

答案: P = 0.5177

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁴ = 0.4823

P = 1 − 0.4823 = 0.5177

答案

P = 0.5177

12.概率

答案: P = 0.2269

二项分布公式

P(X = 3) = 35·0.3³·0.7⁴ = 35·0.027·0.2401 = 0.2269

答案

P = 0.2269

13.正态分布

答案: P = 0.02222

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 240 g, σ_T = 1.2·√6 = 2.939 g

标准化

z = (245.9 − 240)/2.939 = 2.01

概率

P = 1 − Φ(2.01) = 0.02222

答案

P = 0.02222

14.正态分布

答案: x = 52.2 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.1

由表得到的 z

z ≈ −1.28

回到原来的单位

x = 65 − 1.28·10 = 52.2 分

答案

x = 52.2 分

15.置信区间

答案: 下限 = 7.646

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 11, t = 2.201

误差范围

E = 2.201·10/√12 = 6.354

区间

14 ± 6.354 → [7.646, 20.35]

答案

下限 = 7.646

16.置信区间

答案: σ = 4.997 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 24·6.4² = 983

σ² 的限值

983/39.364 = 24.97

983/12.401 = 79.27

σ 的限值

σ = √24.97 = 4.997 µm

答案

σ = 4.997 µm

σ 的 95% 区间：[4.997, 8.903] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: t = 3.202

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (12·6² + 7·4²)/19 = 28.63

s_p = 5.351

标准误

SE = 5.351·√(1/13 + 1/8) = 2.404

检验统计量

t = (108 − 100.3)/2.404 = 3.202

答案

t = 3.202

df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 125.9

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 2.576·12/√100 = 3.091

区间端点

U = 122.8 + 3.091 = 125.9

答案

U = 125.9

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9972

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 714 − 30·96/5 = 138

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2322 − 96²/5 = 478.8

答案

r = 0.9972

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 110.5

均值

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 449/5 = 89.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 414

回归直线

b = 414/90 = 4.6

a = 89.8 − 4.6·21 = −6.8

ŷ = −6.8 + 4.6·x

预测

ŷ = −6.8 + 4.6·25.5 = 110.5

答案

ŷ = 110.5

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