CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €500，共 14 年。年利率为 8%。求该年金的现值 PV。

A = €500i = 8%n = 14

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 5 年内每月月末存入 €100。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1004.2% / 12N = 60

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€22 000, €25 000, €37 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 22 000CF₂ = 25 000CF₃ = 37 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €18 000, €25 500, €17 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 18 000CF₂ = 25 500CF₃ = 17 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 9%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 9%n = 6

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 9 年后到期，售价为 €860。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 9P = €860

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 3.5%，税率为 28%。求 WACC。

E = €6 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_d = 3.5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €59.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 4%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 4%r_m = 8.5%r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：21, 31, 55, 20, 52, 24, 35。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。求成绩 72 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 12x = 72

z =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3

Var(X) =

12.概率困难

测试 10 个元件，每个独立地以概率 0.1 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 10p = 0.1

P =

13.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 178 和 190.95 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 178x₂ = 190.95

P =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 95% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h95%

x = h

15.置信区间中等

一个包含 7 个个体的样本，均值为 113.5，标准差 s = 1.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的上限。

n = 7x̄ = 113.5s = 1.590%t(6) = 1.943

上限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 12。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？

σ = 12E = 295%

n =

17.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：6 名学生，平均分 79.5，标准差 10.5。第 2 组：6 名学生，平均分 68.9，标准差 5.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 6x̄₁ = 79.5s₁ = 10.5n₂ = 6x̄₂ = 68.9s₂ = 5.5

t =

18.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 80 名患者中有 16 人康复，接受治疗 B 的 250 名患者中有 15 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 16n₁ = 80x₂ = 15n₂ = 250

z =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 20Σy = 338Σx² = 90Σy² = 23718Σxy = 1445

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 1.5 时的 ŷ。

n = 6x = 1.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 4122 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.3405)/0.08 = 8.244

现值

PV = 500·8.244 = €4 122.12

答案

PV = €4 122.12

2.货币的时间价值

答案: FV = 6664 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·5 = 60

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1.233 − 1)/0.0035 = €6 663.59

答案

FV = €6 663.59

你自己存入了 €6 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 590.1 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 22 000/1.05 = 20 952.38

CF₂/(1 + 0.05)² = 25 000/1.103 = 22 675.74

CF₃/(1 + 0.05)³ = 37 000/1.158 = 31 961.99

相加

NPV = €590.11

答案

NPV = €590.11

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 24.03 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 2 546.30

NPV(25%) = −576.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·2 546.30/(2 546.30 − (−576.00)) = 24.08%

精确: NPV(24.03%) = 0 → IRR = 24.03%

答案

IRR = 24.03%

5.债券定价与收益率

答案: P = 954.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.045, N = 12

票息的现值

€40.00·(1 − 0.5897)/0.045 = €364.74

面值的现值

€1 000·0.5897 = €589.66

价格

P = €954.41

答案

P = €954.41

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 10.48 %

收益率方程

€860 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数值求解

P(10%) = €884.82, P(11%) = €833.89

YTM = 10.48%

答案

YTM = 10.48%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.26 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €12 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·10% + 0.5·3.5%·(1 − 0.28) = 6.26%

答案

WACC = 6.26%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.392 %

市场价值

E = 1 000 000·€59.50 = €59 500 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.3·4.5% = 9.85%

权重

V = €64 300 000, E/V = 0.9253, D/V = 0.07465

WACC

WACC = 0.9253·9.85% + 0.07465·5%·(1 − 0.258) = 9.392%

答案

WACC = 9.392%

9.描述统计

答案: s = 14.38

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 238/7 = 34

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−13)² + (−3)² + 21² + (−14)² + 18² + (−10)² + 1² = 1240

标准差

s = √(1240/6) = 14.38

答案

s = 14.38

10.描述统计

答案: z = 1

标准化

z = (72 − 60)/12 = 1

答案

z = 1

11.概率

答案: Var(X) = 0.6475

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

方差

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475

答案

Var(X) = 0.6475

12.概率

答案: P = 0.7361

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.9¹⁰ = 0.3487

P(X = 1) = 10·0.1·0.9⁹ = 0.3874

相加

P = 0.3487 + 0.3874 = 0.7361

答案

P = 0.7361

13.正态分布

答案: P = 0.4678

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (178 − 178)/7 = 0

z₂ = (190.95 − 178)/7 = 1.85

中间面积

P = Φ(1.85) − Φ(0) = 0.9678 − 0.5 = 0.4678

答案

P = 0.4678

14.正态分布

答案: x = 566 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.95

由表得到的 z

z ≈ 1.64

回到原来的单位

x = 500 + 1.64·40 = 566 h

答案

x = 566 h

15.置信区间

答案: 上限 = 114.6

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 6, t = 1.943

误差范围

E = 1.943·1.5/√7 = 1.102

区间

113.5 ± 1.102 → [112.4, 114.6]

答案

上限 = 114.6

16.置信区间

答案: n = 139

解出 n

n = (1.96·12/2)² = 138.3

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 139

答案

n = 139

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.191

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (5·10.5² + 5·5.5²)/10 = 70.25

s_p = 8.382

标准误

SE = 8.382·√(1/6 + 1/6) = 4.839

检验统计量

t = (79.5 − 68.9)/4.839 = 2.191

答案

t = 2.191

df = 10 时，双侧 5% 的临界值为 2.228；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: z = 3.736

样本比例

p̂₁ = 16/80 = 0.2

p̂₂ = 15/250 = 0.06

p̂ = 31/330 = 0.09394

H₀ 下的标准误

SE = √(0.09394·0.9061·(1/80 + 1/250)) = 0.03748

检验统计量

z = (0.2 − 0.06)/0.03748 = 3.736

答案

z = 3.736

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9975

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 1445 − 20·338/5 = 93

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 23718 − 338²/5 = 869.2

答案

r = 0.9975

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 49.37

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 385/6 = 64.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 129.5

回归直线

b = 129.5/17.5 = 7.4

a = 64.17 − 7.4·3.5 = 38.27

ŷ = 38.27 + 7.4·x

预测

ŷ = 38.27 + 7.4·1.5 = 49.37

答案

ŷ = 49.37

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