CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 6% 的利率连续复利投资 €5 000。求 4 年后的价值 FV。

PV = €5 000r = 6%t = 4

FV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 4.2% 的利率借入 €15 000，按月复利，每月月末偿还 €350。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €15 000A = €3504.2% / 12

N = 次还款

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€25 000, €23 000, €31 000, €31 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 25 000CF₂ = 23 000CF₃ = 31 000CF₄ = 31 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €20 000，之后每年增长 3%，直到第 9 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €150 000CF₁ = €20 000g = 3%n = 9r = 10%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 9%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 9%n = 5

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 7 年后到期，售价为 €920。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 7P = €920

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €12 000 000 的普通股、价值 €500 000 的优先股和价值 €4 000 000 的债务构成。股权资本成本为 10%，优先股成本为 7.5%，税前债务成本为 5%。税率为 20%。求 WACC。

E = €12 000 000P_s = €500 000D = €4 000 000r_e = 10%r_p = 7.5%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €39.50；其股权账面价值为 €31 600 000。公司刚支付了每股 €2.00 的股利，股利每年增长 4%。其债务市场价值为 €63 200 000，税前成本为 3%。税率为 30%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 2 000 000P₀ = €39.50股权账面价值 = €31 600 000D₀ = €2.00g = 4%D = €63 200 000r_d = 3%T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：29, 40, 41, 52, 43, 55。

n = 6

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。求成绩 46 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 5x = 46

z =

11.概率中等

袋中有 8 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

8 / 7

P =

12.概率困难

一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.4，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.4k = 5

P =

13.正态分布中等

带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 12 个的总质量低于 1062 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12< 1062 kg

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 68 h，已知标准差 4 h。型号 2：40 部手机，均值 54.5 h，已知标准差 6 h。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。

n₁ = 100x̄₁ = 68 hσ₁ = 4 hn₂ = 40x̄₂ = 54.5 hσ₂ = 6 h95%

下限 = h

16.置信区间困难

15 根机加工轴的直径样本标准差为 7.3 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 14 时，χ² 分布有 2.5% 位于 5.629 以下，2.5% 位于 26.119 以上。

n = 15s = 7.3 µmχ² = 5.629, 26.119

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 126，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 126s = 10n = 16

t =

18.假设检验与置信区间困难

64 次测量的样本均值为 506.5。总体标准差为 20。求均值 99% 置信区间的下限 L。

x̄ = 506.5σ = 20n = 6499%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 16？

n = 6ŷ = 16

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 6356 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.06·4 = 0.24

e^0.24 = 1.271

终值

FV = 5 000·1.271 = €6 356.25

答案

FV = €6 356.25

2.货币的时间价值

答案: N = 47 次还款

将年金公式变形

i = 0.0035

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0.0035/350 = 0.85

用对数求解

N = −ln(0.85)/ln(1.004) = 46.52

向上取整到整次还款

46 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 47

答案

N = 47 次还款

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 13193 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 25 000/1.09 = 22 935.78

CF₂/(1 + 0.09)² = 23 000/1.188 = 19 358.64

CF₃/(1 + 0.09)³ = 31 000/1.295 = 23 937.69

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 31 000/1.412 = 21 961.18

相加

NPV = €13 193.29

答案

NPV = €13 193.29

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −22386 €

增长型年金的现值

((1.03)/(1.1))⁹ = 0.5534

PV = 20 000/(0.1 − 0.03)·(1 − 0.5534) = 127 613.94

NPV

NPV = 127 613.94 − 150 000 = −€22 386.06

答案

NPV = −€22 386.06

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: P = 841.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €25.00, i = 0.045, N = 10

票息的现值

€25.00·(1 − 0.6439)/0.045 = €197.82

面值的现值

€1 000·0.6439 = €643.93

价格

P = €841.75

答案

P = €841.75

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.511 %

收益率方程

€920 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(7%) = €946.11, P(8%) = €895.87

YTM = 7.511%

答案

YTM = 7.511%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.47 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 12 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €16 500 000

E/V = 0.7273, P_s/V = 0.0303, D/V = 0.2424

WACC

WACC = 0.7273·10% + 0.0303·7.5% + 0.2424·5%·(1 − 0.2) = 8.47%

答案

WACC = 8.47%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.081 %

股权成本

D₁ = 2·1.04 = €2.08

r_e = 2.08/39.5 + 0.04 = 9.266%

市场价值

E = 2 000 000·€39.50 = €79 000 000

V = €142 200 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·9.266% + 0.4444·3%·(1 − 0.3) = 6.081%

答案

WACC = 6.081%

9.描述统计

答案: s = 9.309

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 260/6 = 43.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−14.33)² + (−3.333)² + (−2.333)² + 8.667² + (−0.3333)² + 11.67² = 433.3

标准差

s = √(433.3/5) = 9.309

答案

s = 9.309

10.描述统计

答案: z = −0.8

标准化

z = (46 − 50)/5 = −0.8

答案

z = −0.8

11.概率

答案: P = 0.2667

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0.2667

答案

P = 0.2667

12.概率

答案: P = 0.03686

二项分布公式

P(X = 5) = 6·0.4⁵·0.6¹ = 6·0.01024·0.6 = 0.03686

答案

P = 0.03686

13.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 1020 kg, σ_T = 12·√12 = 41.57 kg

标准化

z = (1062 − 1020)/41.57 = 1

概率

P = Φ(1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

14.正态分布

答案: P = 0.8665

差的分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01803 mm

标准化

z = (0 − 0.02)/0.01803 = −1.11

概率

P = 1 − Φ(−1.11) = 0.8665

答案

P = 0.8665

15.置信区间

答案: 下限 = 11.48 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 68 − 54.5 = 13.5

标准误

SE = √(4²/100 + 6²/40) = 1.03

误差范围

E = 1.96·1.03 = 2.018

区间

13.5 ± 2.018 → [11.48, 15.52]

答案

下限 = 11.48 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

16.置信区间

答案: σ = 5.345 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 14·7.3² = 746.1

σ² 的限值

746.1/26.119 = 28.56

746.1/5.629 = 132.5

σ 的限值

σ = √28.56 = 5.345 µm

答案

σ = 5.345 µm

σ 的 95% 区间：[5.345, 11.51] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5

检验统计量

t = (126 − 120)/2.5 = 2.4

答案

t = 2.4

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 500.1

误差范围

E = 2.576·20/√64 = 6.44

区间端点

L = 506.5 − 6.44 = 500.1

答案

L = 500.1

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.8755

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 46/5 = 9.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 102.8

决定系数

r² = 60²/(40·102.8) = 0.8755

答案

r² = 0.8755

y 的变异中约有 87.55% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: x = 5.444

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 130/6 = 21.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51

回归直线

b = −51/17.5 = −2.914

a = 21.67 − (−2.914)·3.5 = 31.87

ŷ = 31.87 − 2.914·x

解出 x

x = (16 − 31.87)/(−2.914) = 5.444

答案

x = 5.444

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