CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 9 年后需要 €20 000。某账户年利率 4.8%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €20 0004.8% / 12n = 9

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 12 年内每月月末存入 €100。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1004.8% / 12N = 144

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €100 000。它在 4 年内每年年末产生 €27 000，之后可以以 €10 000 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF = €27 000S = €10 000n = 4r = 6%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €11 500, €9 000, €11 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 500CF₂ = 9 000CF₃ = 11 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 3.5%n = 9

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，5 年后到期。到期收益率为 6%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 5YTM = 6%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.25。其股权资本成本为 13%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。求 WACC。

D/E = 0.25r_e = 13%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €6 000 000，股权资本成本为 11%。其债务由 8 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 5%，剩余期限 10 年），每张交易价格为 €962。税率为 28%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €6 000 000r_e = 11%债券: 8 000 × €962票面利率 = 5%n = 10T = 28%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：59, 17, 47, 28, 14, 43。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 15。数值高于 118.8 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 15x = 118.8

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.25, 0.05, 0.35

Var(X) =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 5X + 4。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.3, 0.2, 0.15Y = 5X + 4

σ_Y =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.1515。求 z，保留两位小数。

A = 0.1515

z =

14.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。

μ = 178σ = 7P = 97.5%

x = cm

15.置信区间中等

一个包含 9 个个体的样本，均值为 55.5，标准差 s = 5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 9x̄ = 55.5s = 595%t(8) = 2.306

下限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 31。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 31E = 195%

n =

17.假设检验与置信区间中等

100 名学生的样本平均分为 104.3，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。

μ₀ = 100x̄ = 104.3s = 15n = 100

t =

18.假设检验与置信区间困难

49 次测量的样本均值为 200.2。总体标准差为 5。求均值 99% 置信区间的下限 L。

x̄ = 200.2σ = 5n = 4999%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 87？

n = 5ŷ = 87

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 12995 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·9 = 108

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.539 = €12 995.38

答案

PV = €12 995.38

2.货币的时间价值

答案: FV = 19422 €

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·12 = 144

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1.777 − 1)/0.004 = €19 421.65

答案

FV = €19 421.65

你自己存入了 €14 400；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 1479 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

27 000·3.465 = 93 557.85

残值的现值

10 000/1.262 = 7 920.94

NPV

NPV = −100 000 + 93 557.85 + 7 920.94 = €1 478.79

答案

NPV = €1 478.79

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 12.64 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 1 157.02

NPV(15%) = −962.03

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·1 157.02/(1 157.02 − (−962.03)) = 12.73%

精确: NPV(12.64%) = 0 → IRR = 12.64%

答案

IRR = 12.64%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1115 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €25.00, i = 0.0175, N = 18

票息的现值

€25.00·(1 − 0.7318)/0.0175 = €383.17

面值的现值

€1 000·0.7318 = €731.78

价格

P = €1 114.95

答案

P = €1 114.95

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: D = 4.694 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 30/1.06 = 28.30, t·PV = 28.30

t = 2: 30/1.124 = 26.70, t·PV = 53.40

t = 3: 30/1.191 = 25.19, t·PV = 75.57

t = 4: 30/1.262 = 23.76, t·PV = 95.05

t = 5: 1030/1.338 = 769.68, t·PV = 3 848.38

久期

P = 873.63

D = 4 100.70/873.63 = 4.694

答案

D = 4.694 年

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.07 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.25) = 0.8

D/V = 0.25/(1 + 0.25) = 0.2

WACC

WACC = 0.8·13% + 0.2·4.5%·(1 − 0.258) = 11.07%

答案

WACC = 11.07%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.046 %

债务成本 (YTM)

962 = 50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + 1000/(1 + y)¹⁰

y = 5.504%

市场价值

D = 8 000·€962 = €7 696 000

V = €13 696 000, E/V = 0.4381, D/V = 0.5619

WACC

WACC = 0.4381·11% + 0.5619·5.504%·(1 − 0.28) = 7.046%

答案

WACC = 7.046%

9.描述统计

答案: s = 17.87

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 208/6 = 34.67

离差平方

Σ(x − x̄)² = 24.33² + (−17.67)² + 12.33² + (−6.667)² + (−20.67)² + 8.333² = 1597

标准差

s = √(1597/5) = 17.87

答案

s = 17.87

10.描述统计

答案: P = 0.1056

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答案

P = 0.1056

11.概率

答案: Var(X) = 164

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 10·0.35 + 20·0.25 + 30·0.05 + 40·0.35 = 24

平方的均值

E(X²) = 100·0.35 + 400·0.25 + 900·0.05 + 1600·0.35 = 740

方差

Var(X) = 740 − 24² = 164

答案

Var(X) = 164

12.概率

答案: σ_Y = 10.62

X 的离散程度

μ = 2.3, Var(X) = 4.51, σ_X = 2.124

线性变换

σ_Y = |5|·2.124 = 10.62

答案

σ_Y = 10.62

均值确实会改变：E(Y) = 5·2.3 + 4 = 15.5。

13.正态分布

答案: z = 1.03

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.1515 = 0.8485

反向查 z 表

在表中找到 0.8485，读出 z。

z = 1.03

答案

z = 1.03

14.正态分布

答案: x = 191.7 cm

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

换算回 x

x = 178 + 1.96·7 = 191.72 cm

答案

x = 191.72 cm

15.置信区间

答案: 下限 = 51.66

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 8, t = 2.306

误差范围

E = 2.306·5/√9 = 3.843

区间

55.5 ± 3.843 → [51.66, 59.34]

答案

下限 = 51.66

16.置信区间

答案: n = 3692

解出 n

n = (1.96·31/1)² = 3692

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 3692

答案

n = 3692

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.867

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√100 = 15/10 = 1.5

检验统计量

t = (104.3 − 100)/1.5 = 2.867

答案

t = 2.867

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 198.4

误差范围

E = 2.576·5/√49 = 1.84

区间端点

L = 200.2 − 1.84 = 198.4

答案

L = 198.4

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9784

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 321/5 = 64.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1127

决定系数

r² = 210²/(40·1127) = 0.9784

答案

r² = 0.9784

y 的变异中约有 97.84% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: x = 20.04

均值

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 406/5 = 81.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224

回归直线

b = 224/40 = 5.6

a = 81.2 − 5.6·19 = −25.2

ŷ = −25.2 + 5.6·x

解出 x

x = (87 − (−25.2))/5.6 = 20.04

答案

x = 20.04

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