CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 2 年后需要 €5 000。某账户年利率 2%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0002% / 12n = 2

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 6 年内每月月末存入 €500。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5003.6% / 12N = 72

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€7 000, €7 000, €9 000, €5 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 7 000CF₃ = 9 000CF₄ = 5 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €21 000, €16 000, €9 000。项目 B 需投入 €50 000，回报为 €13 000, €19 500, €26 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −40 000, 21 000, 16 000, 9 000B: −50 000, 13 000, 19 500, 26 000

r* = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 3 年的债券（面值 €1 000，年票息 4%）到期收益率为 3.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 3% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 3y₀ = 3.5%y₁ = 3%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 5 年后到期，售价为 €940。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 5P = €940

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.25 的股票要求回报为 9.63%。无风险利率为 1.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.25r_e = 9.63%r_f = 1.5%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €46.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 2%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 2%r_m = 8.5%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：55, 59, 28, 33, 42, 36, 57。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。数值低于 166 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 8x = 166

P =

11.概率中等

从 11 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 11k = 2

N =

12.概率困难

一份测试有 10 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.2，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？

n = 10p = 0.2k = 3

P =

13.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 248.5 和 257.75 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 248.5x₂ = 257.75

P =

14.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 70% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g70%

x = g

15.置信区间中等

一个包含 30 个个体的样本，均值为 101.5，标准差 s = 10.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 30x̄ = 101.5s = 10.595%t(29) = 2.045

下限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 4。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 4E = 0.599%

n =

17.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 120；已知总体标准差为 15。一个含 25 个观测值的随机样本均值为 122.76。检验 H₀: μ = 120 对 H₁: μ ≠ 120。求 p 值 p。

μ₀ = 120σ = 15n = 25x̄ = 122.76H₁: μ ≠ μ₀

p =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 5。求最小样本量 n。

σ = 5E = 1.590%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 24？

n = 5ŷ = 24

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 4804 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/12 = 0.001667

N = 12·2 = 24

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.041 = €4 804.11

答案

PV = €4 804.11

2.货币的时间价值

答案: FV = 40117 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·6 = 72

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1.241 − 1)/0.003 = €40 116.85

答案

FV = €40 116.85

你自己存入了 €36 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 3817 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 7 000/1.07 = 6 542.06

CF₂/(1 + 0.07)² = 7 000/1.145 = 6 114.07

CF₃/(1 + 0.07)³ = 9 000/1.225 = 7 346.68

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 5 000/1.311 = 3 814.48

相加

NPV = €3 817.28

答案

NPV = €3 817.28

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 5.598 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −50 000 − (−40 000) = −10 000

ΔCF₁ = 13 000 − 21 000 = −8 000

ΔCF₂ = 19 500 − 16 000 = 3 500

ΔCF₃ = 26 000 − 9 000 = 17 000

差额的 IRR

NPV_Δ(5%) = 240.79

NPV_Δ(6%) = −158.65

r* = 5.598%

答案

r* = 5.598%

校核：在 5.598% 时两个 NPV 都是 €1 878.49。

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 4.45 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €40.00, i = 0.035, N = 3

€40.00·(1 − 0.9019)/0.035 + €1 000·0.9019 = €112.07 + €901.94 = €1 014.01

卖出价

C = €40.00, i = 0.03, N = 2

€40.00·(1 − 0.9426)/0.03 + €1 000·0.9426 = €76.54 + €942.60 = €1 019.13

持有期收益率

HPR = (40 + 1 019.13 − 1 014.01)/1 014.01 = 4.45%

答案

HPR = 4.45%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.442 %

收益率方程

€940 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(6%) = €957.88, P(7%) = €918.00

YTM = 6.442%

答案

YTM = 6.442%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 8.004 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (9.63% − 1.5%)/1.25 = 6.504%

市场回报

r_m = 1.5% + 6.504% = 8.004%

答案

r_m = 8.004%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 13.43 %

市场价值

E = 4 000 000·€46.00 = €184 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.8·6.5% = 13.7%

权重

V = €188 900 000, E/V = 0.9741, D/V = 0.02594

WACC

WACC = 0.9741·13.7% + 0.02594·4%·(1 − 0.2) = 13.43%

答案

WACC = 13.43%

9.描述统计

答案: s = 12.65

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 310/7 = 44.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = 10.71² + 14.71² + (−16.29)² + (−11.29)² + (−2.286)² + (−8.286)² + 12.71² = 959.4

标准差

s = √(959.4/6) = 12.65

答案

s = 12.65

10.描述统计

答案: P = 0.3085

标准化

z = −0.5

标准正态分布表

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 0.3085

答案

P = 0.3085

11.概率

答案: N = 55

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55

答案

N = 55

12.概率

答案: P = 0.2013

二项分布公式

P(X = 3) = 120·0.2³·0.8⁷ = 120·0.008·0.2097 = 0.2013

答案

P = 0.2013

13.正态分布

答案: P = 0.5573

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (248.5 − 250)/5 = −0.3

z₂ = (257.75 − 250)/5 = 1.55

中间面积

P = Φ(1.55) − Φ(−0.3) = 0.9394 − 0.3821 = 0.5573

答案

P = 0.5573

14.正态分布

答案: x = 247.4 g

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.3

由表得到的 z

z ≈ −0.52

回到原来的单位

x = 250 − 0.52·5 = 247.4 g

答案

x = 247.4 g

15.置信区间

答案: 下限 = 97.58

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 29, t = 2.045

误差范围

E = 2.045·10.5/√30 = 3.92

区间

101.5 ± 3.92 → [97.58, 105.4]

答案

下限 = 97.58

16.置信区间

答案: n = 425

解出 n

n = (2.576·4/0.5)² = 424.7

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 425

答案

n = 425

17.假设检验与置信区间

答案: p = 0.3576

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 15/√25 = 3

z = (122.76 − 120)/3 = 0.92

尾部面积

Φ(0.92) = 0.8212

1 − Φ(0.92) = 0.1788

p 值

p = 2·0.1788 = 0.3576

答案

p = 0.3576

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 31

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.645·5/1.5)² = 30.07

向上取整

n = 31

答案

n = 31

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9346

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 76/6 = 12.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 165.3

决定系数

r² = 104²/(70·165.3) = 0.9346

答案

r² = 0.9346

y 的变异中约有 93.46% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: x = 1.286

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21

回归直线

b = −21/10 = −2.1

a = 20.4 − (−2.1)·3 = 26.7

ŷ = 26.7 − 2.1·x

解出 x

x = (24 − 26.7)/(−2.1) = 1.286

答案

x = 1.286

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