CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 8% 的利率连续复利投资 €10 000。求 10 年后的价值 FV。

PV = €10 000r = 8%t = 10

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 5 年内每月月末存入 €250。账户年利率 5.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2505.4% / 12N = 60

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€18 000, €35 000, €33 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 18 000CF₂ = 35 000CF₃ = 33 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €33 500, €27 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 33 500CF₂ = 27 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 11 年后到期，每年付息。到期收益率为 2.5% 时其售价为 €1 143。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 11P = €1 143YTM = 2.5%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 12 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）售价 €1 199。发行人可在 5 年后以 €1 050 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%P = €1 199赎回价格 = €1 050赎回时间 5 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €6 000 000，债务价值为 €3 000 000。其 WACC 为 9.78%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。求股权资本成本 r_e。

E = €6 000 000D = €3 000 000WACC = 9.78%r_d = 4.5%T = 25.8%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €50.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 3%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 3%r_m = 8.5%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：54, 15, 35, 40, 41, 39。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 50。数值高于 550 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 50x = 550

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.05, 0.3, 0.3

σ =

12.概率困难

一份测试有 12 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.7k = 5

P =

13.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 4 个的总质量超过 49.6 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 4> 49.6 kg

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

15.置信区间中等

一个包含 8 个个体的样本，均值为 58.5，标准差 s = 19.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的上限。

n = 8x̄ = 58.5s = 19.590%t(7) = 1.895

上限 =

16.置信区间困难

一项预研究表明，约有 0.7 的产品有缺陷。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.025？

p ≈ 0.7E = 0.02599%

n =

17.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：40 个零件的样本平均长度为 107.5 mm，该生产线的已知标准差为 10 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 106 mm，已知标准差为 19 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 40x̄₁ = 107.5 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 100x̄₂ = 106 mmσ₂ = 19 mm

z =

18.假设检验与置信区间困难

25 次测量的样本均值为 80.2。总体标准差为 20。求均值 99% 置信区间的下限 L。

x̄ = 80.2σ = 20n = 2599%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 17 时的 ŷ。

n = 5x = 17

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 22255 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.08·10 = 0.8

e^0.8 = 2.226

终值

FV = 10 000·2.226 = €22 255.41

答案

FV = €22 255.41

2.货币的时间价值

答案: FV = 17176 €

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·5 = 60

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.309 − 1)/0.0045 = €17 176.18

答案

FV = €17 176.18

你自己存入了 €15 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −7538 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 18 000/1.12 = 16 071.43

CF₂/(1 + 0.12)² = 35 000/1.254 = 27 901.79

CF₃/(1 + 0.12)³ = 33 000/1.405 = 23 488.75

相加

NPV = €−7 538.04

答案

NPV = €−7 538.04

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 14.26 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 2 768.60

NPV(15%) = −453.69

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·2 768.60/(2 768.60 − (−453.69)) = 14.3%

精确: NPV(14.26%) = 0 → IRR = 14.26%

答案

IRR = 14.26%

5.债券定价与收益率

答案: c = 4.003 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.025)⁻¹¹ = €762.14

票息

C = (1143 − 762.14)/9.514 = €40.03

票面利率

c = 40.03/1000 = 4.003%

答案

c = 4.003%

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 1.771 %

收益率方程

1199 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1050/(1 + y)⁵

数值求解

y = 1%: €1 241.71

y = 2%: €1 186.69

YTC = 1.771%

答案

YTC = 1.771%

到期收益率为 3.001%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 13 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC 中的债务部分

0.3333·4.5%·(1 − 0.258) = 1.113%

股权成本

r_e = (9.78% − 1.113%)/0.6667 = 13%

答案

r_e = 13%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.624 %

市场价值

E = 1 000 000·€50.50 = €50 500 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 0.6·5.5% = 6.3%

权重

V = €70 900 000, E/V = 0.7123, D/V = 0.2877

WACC

WACC = 0.7123·6.3% + 0.2877·5%·(1 − 0.21) = 5.624%

答案

WACC = 5.624%

9.描述统计

答案: s = 12.69

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 224/6 = 37.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = 16.67² + (−22.33)² + (−2.333)² + 2.667² + 3.667² + 1.667² = 805.3

标准差

s = √(805.3/5) = 12.69

答案

s = 12.69

10.描述统计

答案: P = 0.1587

标准化

z = 1

标准正态分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 1 − 0.8413 = 0.1587

答案

P = 0.1587

11.概率

答案: σ = 1.244

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.35 + 2·0.05 + 3·0.3 + 4·0.3 = 2.55

平方的均值

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.05 + 9·0.3 + 16·0.3 = 8.05

方差

Var(X) = 8.05 − 2.55² = 1.548

σ = √1.548 = 1.244

答案

σ = 1.244

12.概率

答案: P = 0.02911

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 5) = 792·0.7⁵·0.3⁷ = 792·0.1681·0.0002187 = 0.02911

答案

P = 0.02911

13.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 48 kg, σ_T = 0.8·√4 = 1.6 kg

标准化

z = (49.6 − 48)/1.6 = 1

概率

P = 1 − Φ(1) = 0.1587

答案

P = 0.1587

14.正态分布

答案: P = 0.8554

差的分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02828 mm

标准化

z = (0 − 0.03)/0.02828 = −1.06

概率

P = 1 − Φ(−1.06) = 0.8554

答案

P = 0.8554

15.置信区间

答案: 上限 = 71.56

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 7, t = 1.895

误差范围

E = 1.895·19.5/√8 = 13.06

区间

58.5 ± 13.06 → [45.44, 71.56]

答案

上限 = 71.56

16.置信区间

答案: n = 2230

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 2.576²·0.7·0.3/0.025² = 2230

向上取整

n = 2230

答案

n = 2230

17.假设检验与置信区间

答案: z = 0.6068

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(10²/40 + 19²/100) = √6.11 = 2.472

检验统计量

z = (107.5 − 106)/2.472 = 0.6068

答案

z = 0.6068

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 69.9

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 2.576·20/√25 = 10.3

区间端点

L = 80.2 − 10.3 = 69.9

答案

L = 69.9

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9963

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 352/5 = 70.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 85

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 725.2

决定系数

r² = 85²/(10·725.2) = 0.9963

答案

r² = 0.9963

y 的变异中约有 99.63% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 61.2

均值

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 326/5 = 65.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

回归直线

b = 160/40 = 4

a = 65.2 − 4·18 = −6.8

ŷ = −6.8 + 4·x

预测

ŷ = −6.8 + 4·17 = 61.2

答案

ŷ = 61.2

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