CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 4% 的利率连续复利投资 €5 000。求 19 年后的价值 FV。

PV = €5 000r = 4%t = 19

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 6 年内每月月末存入 €50。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €507.2% / 12N = 72

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€36 000, €26 000, €26 000, €36 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 36 000CF₂ = 26 000CF₃ = 26 000CF₄ = 36 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €80 000 的投资在 3 年内每年年末回报 €33 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €80 000CF = €33 000n = 3

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 10 年后到期，每年付息。到期收益率为 7% 时其售价为 €1 070。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 10P = €1 070YTM = 7%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 5 年后到期，售价为 €1 070。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 5P = €1 070

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €5 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €4 000 000 的债务构成。股权资本成本为 14%，优先股成本为 8%，税前债务成本为 4.5%。税率为 28%。求 WACC。

E = €5 000 000P_s = €1 500 000D = €4 000 000r_e = 14%r_p = 8%r_d = 4.5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €32.00；其股权账面价值为 €32 000 000。公司刚支付了每股 €0.70 的股利，股利每年增长 4%。其债务市场价值为 €32 000 000，税前成本为 5%。税率为 28%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 2 000 000P₀ = €32.00股权账面价值 = €32 000 000D₀ = €0.70g = 4%D = €32 000 000r_d = 5%T = 28%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：37, 57, 36, 55, 10, 26。

n = 6

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 10。求成绩 182.5 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 10x = 182.5

z =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 8

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.25 赢得 €40，以概率 0.05 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €10€40: p = 0.25€100: p = 0.05

E(G) = €

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0630。求 z，保留两位小数。

A = 0.0630

z =

14.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 80% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g80%

x = g

15.置信区间中等

一个包含 30 个个体的样本，均值为 110，标准差 s = 20。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。

n = 30x̄ = 110s = 2090%t(29) = 1.699

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 17。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 17E = 199%

n =

17.假设检验与置信区间中等

7 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −1.18，差值的标准差为 2.6。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 7d̄ = −1.18s_d = 2.6

t =

18.假设检验与置信区间困难

16 次测量的样本均值为 103。总体标准差为 10。求均值 99% 置信区间的下限 L。

x̄ = 103σ = 10n = 1699%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 5.5 时的 ŷ。

n = 6x = 5.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 10691 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.04·19 = 0.76

e^0.76 = 2.138

终值

FV = 5 000·2.138 = €10 691.38

答案

FV = €10 691.38

2.货币的时间价值

答案: FV = 4486 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·6 = 72

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1.538 − 1)/0.006 = €4 486.23

答案

FV = €4 486.23

你自己存入了 €3 600；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 25491 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 36 000/1.09 = 33 027.52

CF₂/(1 + 0.09)² = 26 000/1.188 = 21 883.68

CF₃/(1 + 0.09)³ = 26 000/1.295 = 20 076.77

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 36 000/1.412 = 25 503.31

相加

NPV = €25 491.28

答案

NPV = €25 491.28

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 11.46 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 80 000/33 000 = 2.424

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 11%: 2.444

i = 12%: 2.402

IRR = 11.46%

答案

IRR = 11.46%

5.债券定价与收益率

答案: c = 7.997 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.07)⁻¹⁰ = €508.35

票息

C = (1070 − 508.35)/7.024 = €79.97

票面利率

c = 79.97/1000 = 7.997%

答案

c = 7.997%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 2.494 %

收益率方程

€1 070 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(2%) = €1 094.27, P(3%) = €1 045.80

YTM = 2.494%

答案

YTM = 2.494%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.044 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 5 000 000 + 1 500 000 + 4 000 000 = €10 500 000

E/V = 0.4762, P_s/V = 0.1429, D/V = 0.381

WACC

WACC = 0.4762·14% + 0.1429·8% + 0.381·4.5%·(1 − 0.28) = 9.044%

答案

WACC = 9.044%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.383 %

股权成本

D₁ = 0.7·1.04 = €0.73

r_e = 0.728/32 + 0.04 = 6.275%

市场价值

E = 2 000 000·€32.00 = €64 000 000

V = €96 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·6.275% + 0.3333·5%·(1 − 0.28) = 5.383%

答案

WACC = 5.383%

9.描述统计

答案: s = 17.75

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 221/6 = 36.83

离差平方

Σ(x − x̄)² = 0.1667² + 20.17² + (−0.8333)² + 18.17² + (−26.83)² + (−10.83)² = 1575

标准差

s = √(1575/5) = 17.75

答案

s = 17.75

10.描述统计

答案: z = 1.25

标准化

z = (182.5 − 170)/10 = 1.25

答案

z = 1.25

11.概率

答案: P = 0.7674

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

答案

P = 0.7674

12.概率

答案: E(G) = 5 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 30 (p = 0.25), 90 (p = 0.05), −10 (p = 0.7)

期望值

E(G) = 30·0.25 + 90·0.05 − 10·0.7 = 5 €

答案

E(G) = 5 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: z = 1.53

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0630 = 0.9370

反向查 z 表

在表中找到 0.9370，读出 z。

z = 1.53

答案

z = 1.53

14.正态分布

答案: x = 245.8 g

左侧的面积

Φ(z) = 0.2

由表得到的 z

z ≈ −0.84

回到原来的单位

x = 250 − 0.84·5 = 245.8 g

答案

x = 245.8 g

15.置信区间

答案: E = 6.204

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 29, t = 1.699

误差范围

E = 1.699·20/√30 = 6.204

答案

E = 6.204

16.置信区间

答案: n = 1918

解出 n

n = (2.576·17/1)² = 1918

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 1918

答案

n = 1918

17.假设检验与置信区间

答案: t = −1.201

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 2.6/√7 = 0.9827

检验统计量

t = −1.18/0.9827 = −1.201

答案

t = −1.201

df = 6 时，双侧 5% 的临界值为 2.447；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 96.56

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 2.576·10/√16 = 6.44

区间端点

L = 103 − 6.44 = 96.56

答案

L = 96.56

19.线性回归与相关

答案: r = 0.998

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 303/5 = 60.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1065

答案

r = 0.998

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 65.62

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 331/6 = 55.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 91.5

回归直线

b = 91.5/17.5 = 5.229

a = 55.17 − 5.229·3.5 = 36.87

ŷ = 36.87 + 5.229·x

预测

ŷ = 36.87 + 5.229·5.5 = 65.62

答案

ŷ = 65.62

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