CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 7% 的利率连续复利投资 €5 000。求 13 年后的价值 FV。

PV = €5 000r = 7%t = 13

FV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 18 年后得到 €20 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 3.6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €20 0003.6% / 12N = 216

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000。它在 8 年内每年年末产生 €7 500，之后可以以 €6 000 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €60 000CF = €7 500S = €6 000n = 8r = 10%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €14 500, €9 000, €13 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 500CF₂ = 9 000CF₃ = 13 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，3 年后到期。到期收益率为每年 5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 5%n = 3

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 20 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）售价 €1 106。发行人可在 6 年后以 €1 080 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%P = €1 106赎回价格 = €1 080赎回时间 6 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €3 000 000，债务价值为 €5 000 000。其 WACC 为 6.6%，税前债务成本为 3%，税率为 28%。求股权资本成本 r_e。

E = €3 000 000D = €5 000 000WACC = 6.6%r_d = 3%T = 28%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €17.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 10%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 3.5%r_m = 10%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：28, 44, 54, 13, 49。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。数值低于 650 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 100x = 650

P =

11.概率中等

袋中有 7 个红球和 3 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

7 / 3

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.15 赢得 €2，以概率 0.02 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €1€2: p = 0.15€20: p = 0.02

E(G) = €

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.5407。求 z，保留两位小数。

A = 0.5407

z =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

15.置信区间中等

一个包含 6 个个体的样本，均值为 19.5，标准差 s = 1。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 6x̄ = 19.5s = 199%t(5) = 4.032

下限 =

16.置信区间困难

20 根机加工轴的直径样本标准差为 8.5 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 19 时，χ² 分布有 2.5% 位于 8.907 以下，2.5% 位于 32.852 以上。

n = 20s = 8.5 µmχ² = 8.907, 32.852

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 498.2，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 498.2s = 5n = 25

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 10。求最小样本量 n。

σ = 10E = 290%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 135Σy = 722Σx² = 3195Σy² = 92698Σxy = 17199

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 145？

n = 5ŷ = 145

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 12422 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.07·13 = 0.91

e^0.91 = 2.484

终值

FV = 5 000·2.484 = €12 421.61

答案

FV = €12 421.61

2.货币的时间价值

答案: A = 65.94 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·18 = 216

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0.003/(1.91 − 1) = €65.94

答案

A = €65.94

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −17189 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

7 500·5.335 = 40 011.95

残值的现值

6 000/2.144 = 2 799.04

NPV

NPV = −60 000 + 40 011.95 + 2 799.04 = −€17 189.01

答案

NPV = −€17 189.01

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 22.25 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 856.48

NPV(25%) = −984.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·856.48/(856.48 − (−984.00)) = 22.33%

精确: NPV(22.25%) = 0 → IRR = 22.25%

答案

IRR = 22.25%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1055 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.025, N = 6

票息的现值

€35.00·(1 − 0.8623)/0.025 = €192.78

面值的现值

€1 000·0.8623 = €862.30

价格

P = €1 055.08

答案

P = €1 055.08

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 6.904 %

收益率方程

1106 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1080/(1 + y)⁶

数值求解

y = 6%: €1 154.74

y = 7%: €1 100.97

YTC = 6.904%

答案

YTC = 6.904%

到期收益率为 6.999%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 14 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.375, D/V = 0.625

WACC 中的债务部分

0.625·3%·(1 − 0.28) = 1.35%

股权成本

r_e = (6.6% − 1.35%)/0.375 = 14%

答案

r_e = 14%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.97 %

市场价值

E = 2 500 000·€17.00 = €42 500 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.2·6.5% = 11.3%

权重

V = €52 300 000, E/V = 0.8126, D/V = 0.1874

WACC

WACC = 0.8126·11.3% + 0.1874·6%·(1 − 0.3) = 9.97%

答案

WACC = 9.97%

9.描述统计

答案: s = 16.86

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 188/5 = 37.6

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−9.6)² + 6.4² + 16.4² + (−24.6)² + 11.4² = 1137

标准差

s = √(1137/4) = 16.86

答案

s = 16.86

10.描述统计

答案: P = 0.9332

标准化

z = 1.5

标准正态分布表

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

答案

P = 0.9332

11.概率

答案: P = 0.4667

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0.4667

答案

P = 0.4667

12.概率

答案: E(G) = −0.3 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 1 (p = 0.15), 19 (p = 0.02), −1 (p = 0.83)

期望值

E(G) = 1·0.15 + 19·0.02 − 1·0.83 = −0.3 €

答案

E(G) = −0.3 €

负值表示平均而言你会亏钱。

13.正态分布

答案: z = 0.74

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.5407)/2 = 0.7704

反向查 z 表

在表中找到 0.7704，读出 z。

z = 0.74

答案

z = 0.74

14.正态分布

答案: P = 0.8264

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02121 mm

标准化

z = (0 − 0.02)/0.02121 = −0.94

概率

P = 1 − Φ(−0.94) = 0.8264

答案

P = 0.8264

15.置信区间

答案: 下限 = 17.85

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 5, t = 4.032

误差范围

E = 4.032·1/√6 = 1.646

区间

19.5 ± 1.646 → [17.85, 21.15]

答案

下限 = 17.85

16.置信区间

答案: σ = 6.464 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 19·8.5² = 1373

σ² 的限值

1373/32.852 = 41.79

1373/8.907 = 154.1

σ 的限值

σ = √41.79 = 6.464 µm

答案

σ = 6.464 µm

σ 的 95% 区间：[6.464, 12.41] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: t = −1.8

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

检验统计量

t = (498.2 − 500)/1 = −1.8

答案

t = −1.8

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 68

解出 n

n = (1.645·10/2)² = 67.65

向上取整

n = 68

答案

n = 68

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9967

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 17199 − 135·722/6 = 954

S_xx = 3195 − 135²/6 = 157.5

S_yy = 92698 − 722²/6 = 5817

答案

r = 0.9967

20.线性回归与相关

答案: x = 24.47

均值

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 593/5 = 118.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 531

回归直线

b = 531/90 = 5.9

a = 118.6 − 5.9·20 = 0.6

ŷ = 0.6 + 5.9·x

解出 x

x = (145 − 0.6)/5.9 = 24.47

答案

x = 24.47

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