CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 9 年后需要 €40 000。某账户年利率 4.8%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €40 0004.8% / 4n = 9

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 5 年内每月月末存入 €50。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €504.2% / 12N = 60

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€18 000, €21 000, €18 000, €11 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 18 000CF₂ = 21 000CF₃ = 18 000CF₄ = 11 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €16 000, €15 500, €17 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 16 000CF₂ = 15 500CF₃ = 17 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 7%n = 12

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，3 年后到期。到期收益率为 5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 3YTM = 5%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 3%，税率为 20%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 14%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.9。它计划采用 0.25 的负债权益比。税率为 30%，无风险利率为 1.5%，市场风险溢价为 7%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.9D/E = 0.25T = 30%r_f = 1.5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：15, 41, 53, 23, 35。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值高于 65 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 12x = 65

P =

11.概率中等

袋中有 6 个红球和 9 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

6 / 9

P =

12.概率困难

测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.1 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.1

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0668。求 z，保留两位小数。

A = 0.0668

z =

14.正态分布困难

1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.置信区间中等

一个包含 25 个个体的样本，均值为 56，标准差 s = 19.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 25x̄ = 56s = 19.590%t(24) = 1.711

下限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 13。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 13E = 1.595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：6 名学生，平均分 53，标准差 2。第 2 组：10 名学生，平均分 63.1，标准差 7。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 6x̄₁ = 53s₁ = 2n₂ = 10x̄₂ = 63.1s₂ = 7

t =

18.假设检验与置信区间困难

81 次测量的样本均值为 98。总体标准差为 8。求均值 99% 置信区间的上限 U。

x̄ = 98σ = 8n = 8199%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 42Σy = 536Σx² = 364Σy² = 51810Σxy = 4272

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 16？

n = 6ŷ = 16

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 26035 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/4 = 0.012

N = 4·9 = 36

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.536 = €26 035.24

答案

PV = €26 035.24

2.货币的时间价值

答案: FV = 3332 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·5 = 60

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1.233 − 1)/0.0035 = €3 331.80

答案

FV = €3 331.80

你自己存入了 €3 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 10881 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 18 000/1.09 = 16 513.76

CF₂/(1 + 0.09)² = 21 000/1.188 = 17 675.28

CF₃/(1 + 0.09)³ = 18 000/1.295 = 13 899.30

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 11 000/1.412 = 7 792.68

相加

NPV = €10 881.02

答案

NPV = €10 881.02

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 10.7 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 503.38

NPV(15%) = −2 860.20

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·503.38/(503.38 − (−2 860.20)) = 10.75%

精确: NPV(10.7%) = 0 → IRR = 10.7%

答案

IRR = 10.7%

5.债券定价与收益率

答案: P = 598.5 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.035, N = 24

票息的现值

€10.00·(1 − 0.438)/0.035 = €160.58

面值的现值

€1 000·0.438 = €437.96

价格

P = €598.54

答案

P = €598.54

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: D = 2.792 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 80/1.05 = 76.19, t·PV = 76.19

t = 2: 80/1.103 = 72.56, t·PV = 145.12

t = 3: 1080/1.158 = 932.94, t·PV = 2 798.83

久期

P = 1 081.70

D = 3 020.15/1 081.70 = 2.792

答案

D = 2.792 年

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.04 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6

WACC

WACC = 0.4·14% + 0.6·3%·(1 − 0.2) = 7.04%

答案

WACC = 7.04%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 8.902 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.9·(1 + 0.7·0.25) = 1.058

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.058·7% = 8.902%

答案

r_e = 8.902%

9.描述统计

答案: s = 14.93

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 167/5 = 33.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−18.4)² + 7.6² + 19.6² + (−10.4)² + 1.6² = 891.2

标准差

s = √(891.2/4) = 14.93

答案

s = 14.93

10.描述统计

答案: P = 0.1056

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答案

P = 0.1056

11.概率

答案: P = 0.1429

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0.1429

答案

P = 0.1429

12.概率

答案: P = 0.8503

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.9⁷ = 0.4783

P(X = 1) = 7·0.1·0.9⁶ = 0.372

相加

P = 0.4783 + 0.372 = 0.8503

答案

P = 0.8503

13.正态分布

答案: z = 1.5

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0668 = 0.9332

反向查 z 表

在表中找到 0.9332，读出 z。

z = 1.50

答案

z = 1.50

14.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

标准化

z = (0 − 10)/10 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

15.置信区间

答案: 下限 = 49.33

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 24, t = 1.711

误差范围

E = 1.711·19.5/√25 = 6.673

区间

56 ± 6.673 → [49.33, 62.67]

答案

下限 = 49.33

16.置信区间

答案: n = 289

解出 n

n = (1.96·13/1.5)² = 288.5

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 289

答案

n = 289

17.假设检验与置信区间

答案: t = −3.408

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (5·2² + 9·7²)/14 = 32.93

s_p = 5.738

标准误

SE = 5.738·√(1/6 + 1/10) = 2.963

检验统计量

t = (53 − 63.1)/2.963 = −3.408

答案

t = −3.408

df = 14 时，双侧 5% 的临界值为 2.145；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 100.3

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 2.576·8/√81 = 2.29

区间端点

U = 98 + 2.29 = 100.3

答案

U = 100.3

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9918

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 4272 − 42·536/6 = 520

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 51810 − 536²/6 = 3927

答案

r = 0.9918

20.线性回归与相关

答案: x = 5.152

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 128/6 = 21.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 202

回归直线

b = 202/70 = 2.886

a = 21.33 − 2.886·7 = 1.133

ŷ = 1.133 + 2.886·x

解出 x

x = (16 − 1.133)/2.886 = 5.152

答案

x = 5.152

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