货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.货币的时间价值中等
一张信用卡的名义年利率为 22%，按季度复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。
r = 22%m = 4
EAR = %
2.货币的时间价值困难
你以每年 2.4% 的利率借入 €20 000，按月复利，每月月末偿还 €450。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €20 000A = €4502.4% / 12
N = 次还款
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €30 000，在 5 年内每年年末回报 €10 000。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 6%CF0 = −30 000CF1 = 10 000CF2 = 10 000CF3 = 10 000CF4 = 10 000CF5 = 10 000
DPB = 年
4.NPV 与 IRR困难
项目 A 需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €23 000, €15 000, €9 500。项目 B 需投入 €50 000，回报为 €12 500, €22 000, €25 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。
A: −40 000, 23 000, 15 000, 9 500B: −50 000, 12 500, 22 000, 25 500
r* = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 3 年后到期，每年付息。到期收益率为 5.5% 时其售价为 €933。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 3P = €933YTM = 5.5%
c = %
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 9 年后到期，售价为 €1 120。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 4%n = 9P = €1 120
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 4.5%，税率为 30%。求 WACC。
E = €2 000 000D = €5 000 000re = 13%rd = 4.5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司有 5 000 000 股股票，股价为 €42.00；其股权账面价值为 €105 000 000。公司刚支付了每股 €2.60 的股利，股利每年增长 5%。其债务市场价值为 €168 000 000，税前成本为 3%。税率为 20%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。
N = 5 000 000P0 = €42.00股权账面价值 = €105 000 000D0 = €2.60g = 5%D = €168 000 000rd = 3%T = 20%
WACC = %
9.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：26, 20, 20, 52, 41, 42。
n = 6
s =
10.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。求成绩 47.5 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 5x = 47.5
z =
11.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.3, 0.3, 0.35
σ =
12.概率困难
一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.25k = 5
P =
13.正态分布中等
X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 101.8 s 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 101.8 s
P =
14.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 20%
x = h
15.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 87 h，已知标准差 7 h。型号 2：40 部手机，均值 98 h，已知标准差 7 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。
n₁ = 60x̄₁ = 87 hσ₁ = 7 hn₂ = 40x̄₂ = 98 hσ₂ = 7 h90%
上限 = h
16.置信区间困难
总体标准差为 5。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 5E = 1.590%
n =
17.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：13 名学生，平均分 118.5，标准差 7。第 2 组：13 名学生，平均分 122.8，标准差 6。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 13x̄₁ = 118.5s₁ = 7n₂ = 13x̄₂ = 122.8s₂ = 6
t =
18.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 12。求最小样本量 n。
σ = 12E = 295%
n =
19.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 27Σy = 408Σx² = 139Σy² = 28274Σxy = 1926
r =
20.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5.5, 17)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(5.5, 17)
e =
3溶液
1.货币的时间价值
答案: EAR = 23.88 %
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
每期利率
r/m = 0.22/4 = 0.055
复利一年
EAR = (1 + 0.055)4 − 1 = 1.239 − 1 = 23.88%
答案
EAR = 23.88%
当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。
2.货币的时间价值
答案: N = 47 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.002
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0.002/450 = 0.9111
用对数求解
N = −ln(0.9111)/ln(1.002) = 46.59
向上取整到整次还款
46 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 47
答案
N = 47 次还款
3.NPV 与 IRR
答案: DPB = 3.413 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 10 000/1.06 = 9 433.96 → Σ = 9 433.96
年份 2: 10 000/1.124 = 8 899.96 → Σ = 18 333.93
年份 3: 10 000/1.191 = 8 396.19 → Σ = 26 730.12
年份 4: 10 000/1.262 = 7 920.94 → Σ = 34 651.06
最后一年的分数
DPB = 3 + 3 269.88/7 920.94 = 3.413
答案
DPB = 3.413 年
折现回收期总是长于简单回收期（3 年）。
4.NPV 与 IRR
答案: r* = 5.409 %
交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。
现金流之差
ΔCF0 = −50 000 − (−40 000) = −10 000
ΔCF1 = 12 500 − 23 000 = −10 500
ΔCF2 = 22 000 − 15 000 = 7 000
ΔCF3 = 25 500 − 9 500 = 16 000
差额的 IRR
NPVΔ(5%) = 170.61
NPVΔ(6%) = −241.78
r* = 5.409%
答案
r* = 5.409%
校核：在 5.409% 时两个 NPV 都是 €3 431.18。
5.债券定价与收益率
答案: c = 3.017 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.055)−3 = €851.61
票息
C = (933 − 851.61)/2.698 = €30.17
票面利率
c = 30.17/1000 = 3.017%
答案
c = 3.017%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 2.495 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 120 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数值求解
P(2%) = €1 163.24, P(3%) = €1 077.86
YTM = 2.495%
答案
YTM = 2.495%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 5.964 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €7 000 000, E/V = 0.2857, D/V = 0.7143
WACC
WACC = 0.2857·13% + 0.7143·4.5%·(1 − 0.3) = 5.964%
答案
WACC = 5.964%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.456 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
股权成本
D1 = 2.6·1.05 = €2.73
re = 2.73/42 + 0.05 = 11.5%
市场价值
E = 5 000 000·€42.00 = €210 000 000
V = €378 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444
WACC
WACC = 0.5556·11.5% + 0.4444·3%·(1 − 0.2) = 7.456%
答案
WACC = 7.456%
9.描述统计
答案: s = 13.35
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 201/6 = 33.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−7.5)² + (−13.5)² + (−13.5)² + 18.5² + 7.5² + 8.5² = 891.5
标准差
s = √(891.5/5) = 13.35
答案
s = 13.35
10.描述统计
答案: z = −0.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (47.5 − 50)/5 = −0.5
答案
z = −0.5
11.概率
答案: σ = 0.9206
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.05 + 2·0.3 + 3·0.3 + 4·0.35 = 2.95
平方的均值
E(X²) = 1·0.05 + 4·0.3 + 9·0.3 + 16·0.35 = 9.55
方差
Var(X) = 9.55 − 2.95² = 0.8475
σ = √0.8475 = 0.9206
答案
σ = 0.9206
12.概率
答案: P = 0.0803
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 5) = 462·0.255·0.756 = 462·0.0009766·0.178 = 0.0803
答案
P = 0.0803
13.正态分布
答案: P = 0.6915
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s
标准化
z = (101.8 − 105)/6.403 = −0.5
上尾
P = 1 − Φ(−0.5) = 1 − 0.3085 = 0.6915
答案
P = 0.6915
14.正态分布
答案: x = 466.3 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h
答案
x = 466.34 h
15.置信区间
答案: 上限 = −8.65 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 87 − 98 = −11
标准误
SE = √(7²/60 + 7²/40) = 1.429
误差范围
E = 1.645·1.429 = 2.35
区间
−11 ± 2.35 → [−13.35, −8.65]
答案
上限 = −8.65 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
16.置信区间
答案: n = 31
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·5/1.5)² = 30.07
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 31
答案
n = 31
17.假设检验与置信区间
答案: t = −1.682
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (12·7² + 12·6²)/24 = 42.5
sp = 6.519
标准误
SE = 6.519·√(1/13 + 1/13) = 2.557
检验统计量
t = (118.5 − 122.8)/2.557 = −1.682
答案
t = −1.682
df = 24 时，双侧 5% 的临界值为 2.064；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
18.假设检验与置信区间
答案: n = 139
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·12/2)² = 138.3
向上取整
n = 139
答案
n = 139
19.线性回归与相关
答案: r = 0.9345
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1926 − 27·408/6 = 90
Sxx = 139 − 27²/6 = 17.5
Syy = 28274 − 408²/6 = 530
相关系数
r = 90/√(17.5·530) = 0.9345
答案
r = 0.9345
20.线性回归与相关
答案: e = −4.69
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 149/6 = 24.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27.5
回归直线
b = −27.5/17.5 = −1.571
a = 24.83 − (−1.571)·3.5 = 30.33
ŷ = 30.33 − 1.571·x
预测值
ŷ = 30.33 + (−1.571)·5.5 = 21.69
残差
e = 17 − 21.69 = −4.69
答案
e = −4.69
该点位于直线下方。
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