CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €6 000 的净租金。租金预计每年永久增长 4%。要求回报率为每年 9%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €6 000g = 4%r = 9%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €5 000，共 13 年，第一笔今天存入。账户年利率为 5%。第 13 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €5 000i = 5%n = 13

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €400 000。它在第一年年末产生 €32 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €400 000CF₁ = €32 000g = 3%r = 12%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €8 500, €8 500, €12 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 8 500CF₃ = 12 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 9%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 9%n = 7

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 5 年后到期，售价为 €960。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 5P = €960

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 7%，税率为 28%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €3 000 000r_e = 8%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €35.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 4%，市场回报率为 10.5%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 4%r_m = 10.5%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：24, 39, 25, 25, 44, 26, 57。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 15。求成绩 115 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 15x = 115

z =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 2

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.1 赢得 €15，以概率 0.05 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€15: p = 0.1€100: p = 0.05

E(G) = €

13.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 49 和 67.5 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 49x₂ = 67.5

P =

14.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

15.置信区间中等

一个包含 8 个个体的样本，均值为 60.5，标准差 s = 10.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 8x̄ = 60.5s = 10.599%t(7) = 3.499

下限 =

16.置信区间困难

21 根机加工轴的直径样本标准差为 9.7 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 20 时，χ² 分布有 2.5% 位于 9.591 以下，2.5% 位于 34.17 以上。

n = 21s = 9.7 µmχ² = 9.591, 34.17

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

12 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 6.44，差值的标准差为 7.2。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 12d̄ = 6.44s_d = 7.2

t =

18.假设检验与置信区间困难

64 次测量的样本均值为 44.9。总体标准差为 15。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 44.9σ = 15n = 6490%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 269Σx² = 220Σy² = 14971Σxy = 1748

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 18 时的 ŷ。

n = 5x = 18

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 120000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0.09 − 0.04) = 6 000/0.05 = €120 000.00

答案

PV = €120 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 92993 €

普通年金系数

((1 + 0.05)¹³ − 1)/0.05 = 17.71

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 5 000·17.71·1.05 = €92 993.16

答案

FV = €92 993.16

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −44444 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 32 000/(0.12 − 0.03) = 355 555.56

NPV

NPV = 355 555.56 − 400 000 = −€44 444.44

答案

NPV = −€44 444.44

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 19.79 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 1 708.72

NPV(20%) = −69.44

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·1 708.72/(1 708.72 − (−69.44)) = 19.8%

精确: NPV(19.79%) = 0 → IRR = 19.79%

答案

IRR = 19.79%

5.债券定价与收益率

答案: P = 846.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.045, N = 14

票息的现值

€30.00·(1 − 0.54)/0.045 = €306.68

面值的现值

€1 000·0.54 = €539.97

价格

P = €846.66

答案

P = €846.66

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.975 %

收益率方程

€960 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(6%) = €1 000.00, P(7%) = €959.00

YTM = 6.975%

答案

YTM = 6.975%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.317 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €13 000 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308

WACC

WACC = 0.7692·8% + 0.2308·7%·(1 − 0.28) = 7.317%

答案

WACC = 7.317%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.68 %

市场价值

E = 1 000 000·€35.50 = €35 500 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.2·6.5% = 11.8%

权重

V = €40 500 000, E/V = 0.8765, D/V = 0.1235

WACC

WACC = 0.8765·11.8% + 0.1235·3.5%·(1 − 0.21) = 10.68%

答案

WACC = 10.68%

9.描述统计

答案: s = 12.78

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 240/7 = 34.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−10.29)² + 4.714² + (−9.286)² + (−9.286)² + 9.714² + (−8.286)² + 22.71² = 979.4

标准差

s = √(979.4/6) = 12.78

答案

s = 12.78

10.描述统计

答案: z = 1

标准化

z = (115 − 100)/15 = 1

答案

z = 1

11.概率

答案: P = 0.3056

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

答案

P = 0.3056

12.概率

答案: E(G) = 1.5 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 10 (p = 0.1), 95 (p = 0.05), −5 (p = 0.85)

期望值

E(G) = 10·0.1 + 95·0.05 − 5·0.85 = 1.5 €

答案

E(G) = 1.5 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: P = 0.5439

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (49 − 65)/10 = −1.6

z₂ = (67.5 − 65)/10 = 0.25

中间面积

P = Φ(0.25) − Φ(−1.6) = 0.5987 − 0.0548 = 0.5439

答案

P = 0.5439

14.正态分布

答案: x = 37.05 min

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 32 + 0.8416·6 = 37.05 min

答案

x = 37.05 min

15.置信区间

答案: 下限 = 47.51

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 7, t = 3.499

误差范围

E = 3.499·10.5/√8 = 12.99

区间

60.5 ± 12.99 → [47.51, 73.49]

答案

下限 = 47.51

16.置信区间

答案: σ = 7.421 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 20·9.7² = 1882

σ² 的限值

1882/34.17 = 55.07

1882/9.591 = 196.2

σ 的限值

σ = √55.07 = 7.421 µm

答案

σ = 7.421 µm

σ 的 95% 区间：[7.421, 14.01] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: t = 3.098

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 7.2/√12 = 2.078

检验统计量

t = 6.44/2.078 = 3.098

答案

t = 3.098

df = 11 时，双侧 5% 的临界值为 2.201；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 41.82

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.645·15/√64 = 3.084

区间端点

L = 44.9 − 3.084 = 41.82

答案

L = 41.82

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9487

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 1748 − 30·269/5 = 134

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 14971 − 269²/5 = 498.8

答案

r = 0.9487

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 74.6

均值

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 463/5 = 92.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240

回归直线

b = 240/40 = 6

a = 92.6 − 6·21 = −33.4

ŷ = −33.4 + 6·x

预测

ŷ = −33.4 + 6·18 = 74.6

答案

ŷ = 74.6

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