CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 5 年后需要 €15 000。某账户年利率 3.6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €15 0003.6% / 4n = 5

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 6%，按月复利。求月供 A。

P = €25 0006% / 12N = 36

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€10 000, €9 000, €6 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 9 000CF₃ = 6 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €24 000, €15 500, €18 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 24 000CF₂ = 15 500CF₃ = 18 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 10 年后到期，每年付息。到期收益率为 2.5% 时其售价为 €1 219。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 10P = €1 219YTM = 2.5%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 065，到期收益率为 5%（按年复利），麦考利久期为 4.6 年。如果收益率上升 100 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 065y = 5%D = 4.6Δy = +100 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €3 000 000，债务价值为 €5 000 000。其 WACC 为 7.13%，税前债务成本为 4.5%，税率为 20%。求股权资本成本 r_e。

E = €3 000 000D = €5 000 000WACC = 7.13%r_d = 4.5%T = 20%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €9.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 3.5%r_m = 8.5%r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：35, 57, 43, 10, 44。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 10。求成绩 66 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 10x = 66

z =

11.概率中等

袋中有 8 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

8 / 4

P =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 10X − 3。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.3, 0.2Y = 10X − 3

σ_Y =

13.正态分布中等

X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 95.4 s 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 95.4 s

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

15.置信区间中等

一个包含 10 个个体的样本，均值为 90.5，标准差 s = 2.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 10x̄ = 90.5s = 2.599%t(9) = 3.25

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 4？

σ = 23E = 495%

n =

17.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：6 名学生，平均分 95.5，标准差 7。第 2 组：6 名学生，平均分 103.4，标准差 4。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 6x̄₁ = 95.5s₁ = 7n₂ = 6x̄₂ = 103.4s₂ = 4

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1？标准差为 5。求最小样本量 n。

σ = 5E = 195%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 15Σy = 75Σx² = 55Σy² = 1205Σxy = 199

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 77？

n = 5ŷ = 77

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 12539 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = 4·5 = 20

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.196 = €12 539.15

答案

PV = €12 539.15

2.货币的时间价值

答案: A = 760.5 €

月利率和还款期数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8356

A = 25 000·0.005/(1 − 0.8356) = €760.55

答案

A = €760.55

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 1383 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 10 000/1.09 = 9 174.31

CF₂/(1 + 0.09)² = 9 000/1.188 = 7 575.12

CF₃/(1 + 0.09)³ = 6 000/1.295 = 4 633.10

相加

NPV = €1 382.53

答案

NPV = €1 382.53

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 22.47 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 1 469.91

NPV(25%) = −1 408.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·1 469.91/(1 469.91 − (−1 408.00)) = 22.55%

精确: NPV(22.47%) = 0 → IRR = 22.47%

答案

IRR = 22.47%

5.债券定价与收益率

答案: c = 5.002 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.025)⁻¹⁰ = €781.20

票息

C = (1219 − 781.20)/8.752 = €50.02

票面利率

c = 50.02/1000 = 5.002%

答案

c = 5.002%

6.债券定价与收益率

答案: P = 1018 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 4.6/1.05 = 4.381

估计的价格变化

%ΔP ≈ −4.381·(0.01) = −4.381%

P ≈ 1065·(1 − 0.04381) = €1 018.34

答案

P = €1 018.34

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 13.01 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.375, D/V = 0.625

WACC 中的债务部分

0.625·4.5%·(1 − 0.2) = 2.25%

股权成本

r_e = (7.13% − 2.25%)/0.375 = 13.01%

答案

r_e = 13.01%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.309 %

市场价值

E = 2 000 000·€9.00 = €18 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 0.8·5% = 7.5%

权重

V = €23 250 000, E/V = 0.7742, D/V = 0.2258

WACC

WACC = 0.7742·7.5% + 0.2258·3%·(1 − 0.258) = 6.309%

答案

WACC = 6.309%

9.描述统计

答案: s = 17.43

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 189/5 = 37.8

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−2.8)² + 19.2² + 5.2² + (−27.8)² + 6.2² = 1215

标准差

s = √(1215/4) = 17.43

答案

s = 17.43

10.描述统计

答案: z = 0.6

标准化

z = (66 − 60)/10 = 0.6

答案

z = 0.6

11.概率

答案: P = 0.4242

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0.4242

答案

P = 0.4242

12.概率

答案: σ_Y = 11.52

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 2.35, Var(X) = 1.328, σ_X = 1.152

线性变换

σ_Y = |10|·1.152 = 11.52

答案

σ_Y = 11.52

均值确实会改变：E(Y) = 10·2.35 − 3 = 20.5。

13.正态分布

答案: P = 0.9332

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

标准化

z = (95.4 − 105)/6.403 = −1.5

上尾

P = 1 − Φ(−1.5) = 1 − 0.06681 = 0.9332

答案

P = 0.9332

14.正态分布

答案: P = 0.8133

差的分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89

概率

P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133

答案

P = 0.8133

15.置信区间

答案: E = 2.569

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 9, t = 3.25

误差范围

E = 3.25·2.5/√10 = 2.569

答案

E = 2.569

16.置信区间

答案: n = 128

解出 n

n = (1.96·23/4)² = 127

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 128

答案

n = 128

17.假设检验与置信区间

答案: t = −2.4

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (5·7² + 5·4²)/10 = 32.5

s_p = 5.701

标准误

SE = 5.701·√(1/6 + 1/6) = 3.291

检验统计量

t = (95.5 − 103.4)/3.291 = −2.4

答案

t = −2.4

df = 10 时，双侧 5% 的临界值为 2.228；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 97

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.96·5/1)² = 96.04

向上取整

n = 97

答案

n = 97

19.线性回归与相关

答案: r = −0.9192

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 199 − 15·75/5 = −26

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1205 − 75²/5 = 80

答案

r = −0.9192

20.线性回归与相关

答案: x = 21.39

均值

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 357/5 = 71.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 363

回归直线

b = 363/90 = 4.033

a = 71.4 − 4.033·20 = −9.267

ŷ = −9.267 + 4.033·x

解出 x

x = (77 − (−9.267))/4.033 = 21.39

答案

x = 21.39

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