CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4% 投资 €5 000，按月复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0004% / 12n = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €8 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。

P = €8 0002.4% / 12N = 48

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€6 000, €8 000, €8 000, €8 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 8 000CF₃ = 8 000CF₄ = 8 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €12 500, €11 000, €12 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 500CF₂ = 11 000CF₃ = 12 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 12 年的债券（面值 €1 000，年票息 4.5%）到期收益率为 8% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 9.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 12y₀ = 8%y₁ = 9.5%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 8 年后到期，售价为 €840。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 8P = €840

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.75。其股权资本成本为 13%，税前债务成本为 7%，税率为 21%。求 WACC。

D/E = 0.75r_e = 13%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1.4。公司计划把负债权益比提高到 1.5。税率为 20%，无风险利率为 2.5%，市场风险溢价为 6%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.4D/E₁ = 0.4D/E₂ = 1.5T = 20%r_f = 2.5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：42, 57, 30, 47, 31。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 75。求成绩 440 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 75x = 440

z =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 8

P =

12.概率困难

测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.7

P =

13.正态分布中等

带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 12 个的总质量超过 1103 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 1103 kg

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 97 h，已知标准差 6 h。型号 2：40 部手机，均值 103 h，已知标准差 15 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。

n₁ = 60x̄₁ = 97 hσ₁ = 6 hn₂ = 40x̄₂ = 103 hσ₂ = 15 h90%

下限 = h

16.置信区间困难

事先对缺陷产品的比例一无所知。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.04？

p = 0.5E = 0.0499%

n =

17.假设检验与置信区间中等

81 名学生的样本平均分为 76.29，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。

μ₀ = 75x̄ = 76.29s = 4n = 81

t =

18.假设检验与置信区间困难

16 次测量的样本均值为 96.6。总体标准差为 8。求均值 99% 置信区间的上限 U。

x̄ = 96.6σ = 8n = 1699%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (3.5, 55)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(3.5, 55)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 7162 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.04/12 = 0.003333

N = m·n = 12·9 = 108

终值

FV = 5 000·(1 + 0.003333)¹⁰⁸ = 5 000·1.432 = €7 162.36

答案

FV = €7 162.36

2.货币的时间价值

答案: A = 175 €

月利率和还款期数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.9086

A = 8 000·0.002/(1 − 0.9086) = €174.96

答案

A = €174.96

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 5834 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 6 000/1.06 = 5 660.38

CF₂/(1 + 0.06)² = 8 000/1.124 = 7 119.97

CF₃/(1 + 0.06)³ = 8 000/1.191 = 6 716.95

CF₄/(1 + 0.06)⁴ = 8 000/1.262 = 6 336.75

相加

NPV = €5 834.05

答案

NPV = €5 834.05

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 35.65 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 172.23

NPV(40%) = −1 086.01

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·172.23/(172.23 − (−1 086.01)) = 35.68%

精确: NPV(35.65%) = 0 → IRR = 35.65%

答案

IRR = 35.65%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = −3.206 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €45.00, i = 0.08, N = 12

€45.00·(1 − 0.3971)/0.08 + €1 000·0.3971 = €339.12 + €397.11 = €736.24

卖出价

C = €45.00, i = 0.095, N = 11

€45.00·(1 − 0.3685)/0.095 + €1 000·0.3685 = €299.13 + €368.51 = €667.63

持有期收益率

HPR = (45 + 667.63 − 736.24)/736.24 = −3.206%

答案

HPR = −3.206%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.529 %

收益率方程

€840 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(5%) = €870.74, P(6%) = €813.71

YTM = 5.529%

答案

YTM = 5.529%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.799 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.75) = 0.5714

D/V = 0.75/(1 + 0.75) = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·13% + 0.4286·7%·(1 − 0.21) = 9.799%

答案

WACC = 9.799%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 16.5 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.4/(1 + 0.8·0.4) = 1.061

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.061·(1 + 0.8·1.5) = 2.333

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 2.333·6% = 16.5%

答案

r_e = 16.5%

9.描述统计

答案: s = 11.33

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 207/5 = 41.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = 0.6² + 15.6² + (−11.4)² + 5.6² + (−10.4)² = 513.2

标准差

s = √(513.2/4) = 11.33

答案

s = 11.33

10.描述统计

答案: z = −0.8

标准化

z = (440 − 500)/75 = −0.8

答案

z = −0.8

11.概率

答案: P = 0.7674

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

答案

P = 0.7674

12.概率

答案: P = 1.541 × 10⁻⁵

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.3¹² = 5.314 × 10⁻⁷

P(X = 1) = 12·0.7·0.3¹¹ = 1.488 × 10⁻⁵

相加

P = 5.314 × 10⁻⁷ + 1.488 × 10⁻⁵ = 1.541 × 10⁻⁵

答案

P = 1.541 × 10⁻⁵

13.正态分布

答案: P = 0.02275

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 1020 kg, σ_T = 12·√12 = 41.57 kg

标准化

z = (1103 − 1020)/41.57 = 2

概率

P = 1 − Φ(2) = 0.02275

答案

P = 0.02275

14.正态分布

答案: P = 0.8133

差的分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89

概率

P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133

答案

P = 0.8133

15.置信区间

答案: 下限 = −10.1 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 97 − 103 = −6

标准误

SE = √(6²/60 + 15²/40) = 2.495

误差范围

E = 1.645·2.495 = 4.104

区间

−6 ± 4.104 → [−10.1, −1.896]

答案

下限 = −10.1 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

16.置信区间

答案: n = 1037

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 2.576²·0.5·0.5/0.04² = 1037

向上取整

n = 1037

答案

n = 1037

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.903

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444

检验统计量

t = (76.29 − 75)/0.4444 = 2.903

答案

t = 2.903

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 101.8

误差范围

E = 2.576·8/√16 = 5.152

区间端点

U = 96.6 + 5.152 = 101.8

答案

U = 101.8

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9513

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 387/5 = 77.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 417.2

决定系数

r² = 126²/(40·417.2) = 0.9513

答案

r² = 0.9513

y 的变异中约有 95.13% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: e = −2.4

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 273/5 = 54.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

回归直线

b = 56/10 = 5.6

a = 54.6 − 5.6·3 = 37.8

ŷ = 37.8 + 5.6·x

预测值

ŷ = 37.8 + 5.6·3.5 = 57.4

残差

e = 55 − 57.4 = −2.4

答案

e = −2.4

该点位于直线下方。

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