货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.货币的时间价值中等
一份年金在每年年末支付 €1 500，共 10 年。年利率为 3%。求该年金的现值 PV。
A = €1 500i = 3%n = 10
PV = €
2.货币的时间价值困难
你在每年年初存入 €2 500，共 14 年，第一笔今天存入。账户年利率为 3%。第 14 年年末账户里有多少钱？求 FV。
A = €2 500i = 3%n = 14
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €100 000。它在 7 年内每年年末产生 €20 500，之后可以以 €10 000 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。
C0 = €100 000CF = €20 500S = €10 000n = 7r = 6%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
一个项目今天需投入 €100 000。其现金流在第 1 年年末为 €13 000，之后每年增长 3%，直到第 7 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。
C0 = €100 000CF1 = €13 000g = 3%n = 7r = 12%
NPV = €
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，15 年后到期。其到期收益率从 5% 变为 4.5%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 4%n = 15y1 = 5%y2 = 4.5%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 13 年的债券（面值 €1 000，年票息 9%）售价 €1 215。发行人可在 3 年后以 €1 090 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 9%P = €1 215赎回价格 = €1 090赎回时间 3 年
YTC = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 6%，税率为 25.8%。求 WACC。
E = €10 000 000D = €5 000 000re = 12%rd = 6%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股票在当前负债权益比 0.2 下的贝塔为 1.2。公司计划把负债权益比提高到 1.25。税率为 28%，无风险利率为 2%，市场风险溢价为 6.5%。求变化后的股权资本成本 re。
βL = 1.2D/E1 = 0.2D/E2 = 1.25T = 28%rf = 2%rm − rf = 6.5%
re = %
9.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：45, 19, 53, 50, 19。
n = 5
s =
10.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。求成绩 550 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 40x = 550
z =
11.概率中等
从 6 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 6k = 3
N =
12.概率困难
一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.1，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？
n = 6p = 0.1k = 1
P =
13.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.4907。求 z，保留两位小数。
A = 0.4907
z =
14.正态分布困难
运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.置信区间中等
测量 7 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −7.8，标准差为 5.9。 求平均差值的 95% 置信区间的下限。
n = 7d̄ = −7.8sd = 5.995%t(6) = 2.447
下限 = mmHg
16.置信区间困难
总体标准差为 40。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 40E = 2.595%
n =
17.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 51.07，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 51.07s = 4n = 81
t =
18.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 2 个单位的偏移。标准差为 18。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 90%δ = 2σ = 18zα = 1.645zβ = 1.282
n =
19.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
20.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (3, 17)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(3, 17)
e =
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 12795 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
年金系数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.7441)/0.03 = 8.53
现值
PV = 1 500·8.53 = €12 795.30
答案
PV = €12 795.30
2.货币的时间价值
答案: FV = 43997 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
普通年金系数
((1 + 0.03)14 − 1)/0.03 = 17.09
先付年金
每笔存款都多投资一年。
FV = 2 500·17.09·1.03 = €43 997.28
答案
FV = €43 997.28
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 21089 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
20 500·5.582 = 114 438.82
残值的现值
10 000/1.504 = 6 650.57
NPV
NPV = −100 000 + 114 438.82 + 6 650.57 = €21 089.39
答案
NPV = €21 089.39
4.NPV 与 IRR
答案: NPV = −35915 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
增长型年金的现值
((1.03)/(1.12))7 = 0.5563
PV = 13 000/(0.12 − 0.03)·(1 − 0.5563) = 64 085.31
NPV
NPV = 64 085.31 − 100 000 = −€35 914.69
答案
NPV = −€35 914.69
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = 50.1 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €40.00, i = 0.05, N = 15
€40.00·(1 − 0.481)/0.05 + €1 000·0.481 = €415.19 + €481.02 = €896.20
按新收益率计算的价格
C = €40.00, i = 0.045, N = 15
€40.00·(1 − 0.5167)/0.045 + €1 000·0.5167 = €429.58 + €516.72 = €946.30
变化
ΔP = 946.30 − 896.20 = €50.10
答案
ΔP = €50.10
6.债券定价与收益率
答案: YTC = 4.115 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1215 = 90·(1 − (1 + y)−3)/y + 1090/(1 + y)3
数值求解
y = 4%: €1 218.76
y = 5%: €1 186.68
YTC = 4.115%
答案
YTC = 4.115%
到期收益率为 6.5%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.484 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €15 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·12% + 0.3333·6%·(1 − 0.258) = 9.484%
答案
WACC = 9.484%
8.CAPM 与 WACC
答案: re = 14.95 %
有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。
对贝塔去杠杆
βU = 1.2/(1 + 0.72·0.2) = 1.049
按新的 D/E 重新加杠杆
βL = 1.049·(1 + 0.72·1.25) = 1.993
股权成本（CAPM）
re = 2% + 1.993·6.5% = 14.95%
答案
re = 14.95%
9.描述统计
答案: s = 16.86
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 186/5 = 37.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = 7.8² + (−18.2)² + 15.8² + 12.8² + (−18.2)² = 1137
标准差
s = √(1137/4) = 16.86
答案
s = 16.86
10.描述统计
答案: z = 1.25
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (550 − 500)/40 = 1.25
答案
z = 1.25
11.概率
答案: N = 20
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20
答案
N = 20
12.概率
答案: P = 0.3543
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 1) = 6·0.11·0.95 = 6·0.1·0.5905 = 0.3543
答案
P = 0.3543
13.正态分布
答案: z = 0.66
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.4907)/2 = 0.7454
反向查 z 表
在表中找到 0.7454，读出 z。
z = 0.66
答案
z = 0.66
14.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
标准化
z = (0 − 4)/5 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
15.置信区间
答案: 下限 = −13.26 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 6, t = 2.447
误差范围
E = 2.447·5.9/√7 = 5.457
区间
−7.8 ± 5.457 → [−13.26, −2.343]
答案
下限 = −13.26 mmHg
16.置信区间
答案: n = 984
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·40/2.5)² = 983.4
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 984
答案
n = 984
17.假设检验与置信区间
答案: t = 2.408
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444
检验统计量
t = (51.07 − 50)/0.4444 = 2.408
答案
t = 2.408
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
18.假设检验与置信区间
答案: n = 694
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.282)·18/2)² = 694
向上取整
n = 694
答案
n = 694
19.线性回归与相关
答案: r = 0.9934
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 323/5 = 64.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114
Syy = Σ(y − ȳ)² = 329.2
相关系数
r = 114/√(40·329.2) = 0.9934
答案
r = 0.9934
20.线性回归与相关
答案: e = 4.857
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 162/6 = 27
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 260
回归直线
b = 260/70 = 3.714
a = 27 − 3.714·7 = 1
ŷ = 1 + 3.714·x
预测值
ŷ = 1 + 3.714·3 = 12.14
残差
e = 17 − 12.14 = 4.857
答案
e = 4.857
该点位于直线上方。
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