CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 21%，按月复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 21%m = 12

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 4.2%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €200 0004.2% / 12N = 360

I = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€12 000, €6 000, €9 000, €15 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 000CF₂ = 6 000CF₃ = 9 000CF₄ = 15 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €50 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €17 000, €20 500, €18 500。现金流可按 8% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 17 000CF₂ = 20 500CF₃ = 18 500

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，3 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 6%n = 3

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 10 年后到期，售价为 €1 110。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 10P = €1 110

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 3%，税率为 28%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €13.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 25%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 2.5%r_m = 6.5%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：24, 42, 17, 10, 15, 21, 11。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。求成绩 95 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 20x = 95

z =

11.概率中等

袋中有 4 个红球和 3 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

4 / 3

P =

12.概率困难

一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？

n = 9p = 0.5k = 5

P =

13.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 247.5 和 251 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 247.5x₂ = 251

P =

14.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 99%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 13 个个体的样本，均值为 113.5，标准差 s = 1。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 13x̄ = 113.5s = 199%t(12) = 3.055

下限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 17。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 5？

σ = 17E = 595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

100 名学生的样本平均分为 72.52，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。

μ₀ = 75x̄ = 72.52s = 8n = 100

t =

18.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 80 名患者中有 24 人康复，接受治疗 B 的 150 名患者中有 59 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 24n₁ = 80x₂ = 59n₂ = 150

z =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 21Σy = 279Σx² = 91Σy² = 13083Σxy = 1018

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (7, 73)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(7, 73)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 23.14 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.21/12 = 0.0175

复利一年

EAR = (1 + 0.0175)¹² − 1 = 1.231 − 1 = 23.14%

答案

EAR = 23.14%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: I = 152092 €

月供

i = 0.0035, N = 360

A = 200 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)⁻³⁶⁰) = €978.03

利息总额

I = N·A − P = 360·978 − 200 000 = €152 092.37

答案

I = €152 092.37

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 6099 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 12 000/1.06 = 11 320.75

CF₂/(1 + 0.06)² = 6 000/1.124 = 5 339.98

CF₃/(1 + 0.06)³ = 9 000/1.191 = 7 556.57

CF₄/(1 + 0.06)⁴ = 15 000/1.262 = 11 881.40

相加

NPV = €6 098.71

答案

NPV = €6 098.71

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 6.542 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

17 000·1.08² = 19 828.80

20 500·1.08¹ = 22 140.00

18 500·1.08⁰ = 18 500.00

TV = 60 468.80

MIRR

MIRR = (60 468.80/50 000)^1/3 − 1 = 6.542%

答案

MIRR = 6.542%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1027 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.03, N = 6

票息的现值

€35.00·(1 − 0.8375)/0.03 = €189.60

面值的现值

€1 000·0.8375 = €837.48

价格

P = €1 027.09

答案

P = €1 027.09

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.472 %

收益率方程

€1 110 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(6%) = €1 147.20, P(7%) = €1 070.24

YTM = 6.472%

答案

YTM = 6.472%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.773 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €6 000 000, E/V = 0.3333, D/V = 0.6667

WACC

WACC = 0.3333·13% + 0.6667·3%·(1 − 0.28) = 5.773%

答案

WACC = 5.773%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 3.251 %

市场价值

E = 1 000 000·€13.50 = €13 500 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.9·4% = 6.1%

权重

V = €51 900 000, E/V = 0.2601, D/V = 0.7399

WACC

WACC = 0.2601·6.1% + 0.7399·3%·(1 − 0.25) = 3.251%

答案

WACC = 3.251%

9.描述统计

答案: s = 10.92

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 140/7 = 20

离差平方

Σ(x − x̄)² = 4² + 22² + (−3)² + (−10)² + (−5)² + 1² + (−9)² = 716

标准差

s = √(716/6) = 10.92

答案

s = 10.92

10.描述统计

答案: z = 1.25

标准化

z = (95 − 70)/20 = 1.25

答案

z = 1.25

11.概率

答案: P = 0.2857

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 4/7 · 3/6 = 12/42 = 0.2857

答案

P = 0.2857

12.概率

答案: P = 0.2461

二项分布公式

P(X = 5) = 126·0.5⁵·0.5⁴ = 126·0.03125·0.0625 = 0.2461

答案

P = 0.2461

13.正态分布

答案: P = 0.2707

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (247.5 − 250)/5 = −0.5

z₂ = (251 − 250)/5 = 0.2

中间面积

P = Φ(0.2) − Φ(−0.5) = 0.5793 − 0.3085 = 0.2707

答案

P = 0.2707

14.正态分布

答案: x = 88.26 分

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

换算回 x

x = 65 + 2.326·10 = 88.26 分

答案

x = 88.26 分

15.置信区间

答案: 下限 = 112.7

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 12, t = 3.055

误差范围

E = 3.055·1/√13 = 0.8473

区间

113.5 ± 0.8473 → [112.7, 114.3]

答案

下限 = 112.7

16.置信区间

答案: n = 45

解出 n

n = (1.96·17/5)² = 44.41

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 45

答案

n = 45

17.假设检验与置信区间

答案: t = −3.1

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√100 = 8/10 = 0.8

检验统计量

t = (72.52 − 75)/0.8 = −3.1

答案

t = −3.1

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: z = −1.404

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 24/80 = 0.3

p̂₂ = 59/150 = 0.3933

p̂ = 83/230 = 0.3609

H₀ 下的标准误

SE = √(0.3609·0.6391·(1/80 + 1/150)) = 0.06649

检验统计量

z = (0.3 − 0.3933)/0.06649 = −1.404

答案

z = −1.404

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

19.线性回归与相关

答案: r = 0.948

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 1018 − 21·279/6 = 41.5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 13083 − 279²/6 = 109.5

答案

r = 0.948

20.线性回归与相关

答案: e = −3.3

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 353/5 = 70.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228

回归直线

b = 228/40 = 5.7

a = 70.6 − 5.7·6 = 36.4

ŷ = 36.4 + 5.7·x

预测值

ŷ = 36.4 + 5.7·7 = 76.3

残差

e = 73 − 76.3 = −3.3

答案

e = −3.3

该点位于直线下方。

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